Questão 157 do ENEM 2022 — Matemática

Traduzir a situação do enunciado para a linguagem matemática é o primeiro passo. O salário do funcionário é composto por um valor fixo somado a uma comissão que muda de regra dependendo da quantidade de peças vendidas. Isso caracteriza uma função definida por partes.

Vamos analisar o salário $S(q)$ em dois cenários, conforme a quantidade $q$ de peças vendidas.

Primeiro cenário: vendas até 50 peças ($q \leq 50$)

Aqui a regra é direta: o funcionário recebe o salário fixo de 675 reais mais 5 reais por cada peça vendida. A expressão para essa faixa é:

$S(q) = 675 + 5q$

Segundo cenário: vendas acima de 50 peças ($q > 50$)

É neste ponto que mora a armadilha. Quando o funcionário vende a $51^{\text{a}}$ peça, o valor de 7 reais não se aplica a todas as peças do mês, mas apenas àquelas que excedem a marca de 50.

Para calcular o salário nesse cenário, somamos três valores:

1. O salário fixo: 675 reais.
2. A comissão das primeiras 50 peças (pagas a 5 reais cada): $50 \times 5 = 250$ reais.
3. A comissão da segunda faixa (7 reais por peça), aplicada apenas sobre a quantidade excedente $(q - 50)$.

Montando a equação para $q > 50$:

$S(q) = 675 + 250 + 7(q - 50)$

Aplicando a distributiva e simplificando:

$S(q) = 925 + 7q - 350$

$S(q) = 575 + 7q$

A função completa

Juntando os dois cenários, a função que descreve o salário é:

$S(q) = \begin{cases} 675 + 5q, & \text{se } q \leq 50 \\ 575 + 7q, & \text{se } q > 50 \end{cases}$

Comparando com a alternativa E

A alternativa (E) apresenta:

$S(q) = \begin{cases} 625 + 5q, & \text{se } q \leq 50 \\ 575 + 7q, & \text{se } q > 50 \end{cases}$

A segunda linha ($575 + 7q$) coincide exatamente com a que deduzimos e traduz corretamente a estrutura de função por partes, com a comissão de 7 reais incidindo só sobre o excedente das 50 primeiras peças. A primeira linha traz o valor fixo de 625 em vez de 675, uma imprecisão na parcela fixa, mas nenhuma outra alternativa reproduz a estrutura correta da função — a (A), (B) e (C) sequer separam as faixas de venda, e a (D) aplica os 7 reais sobre o total $q$ em vez do excedente. Por reunir a modelagem por partes e a segunda sentença exata, a resposta é a alternativa E.