Questão 145 do ENEM 2015 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos analisar cuidadosamente as condições dadas para a distribuição dos ingressos. Temos $400$ ingressos para a sessão vespertina e $320$ ingressos para a sessão noturna. As regras são claras:

1. Cada escola recebe ingressos para apenas uma sessão.
2. Todas as escolas contempladas devem receber exatamente a mesma quantidade de ingressos.
3. Não pode haver sobra de ingressos em nenhuma das sessões.

O problema pede o número mínimo de escolas que podem ser escolhidas. Para que o número de escolas seja o menor possível, a quantidade de ingressos que cada escola vai receber deve ser a maior possível.

Como todas as escolas devem receber a mesma quantidade de ingressos e não pode haver sobras, esse número de ingressos por escola precisa ser um divisor exato tanto de $400$ quanto de $320$. E, como queremos a maior quantidade possível de ingressos por escola, estamos procurando o Máximo Divisor Comum (MDC) entre $400$ e $320$.

Calculando o MDC

Vamos fatorar os números $400$ e $320$ em números primos:

$400 = 4 \cdot 100 = 2^2 \cdot (2^2 \cdot 5^2) = 2^4 \cdot 5^2$

$320 = 32 \cdot 10 = 2^5 \cdot (2 \cdot 5) = 2^6 \cdot 5$

Para encontrar o MDC, pegamos os fatores primos comuns aos dois números, sempre com o menor expoente. Os fatores comuns são $2$ e $5$. O menor expoente do $2$ é $4$, e o menor expoente do $5$ é $1$. Assim:

$\text{MDC}(400, 320) = 2^4 \cdot 5^1 = 16 \cdot 5 = 80$

Isso significa que cada escola receberá exatamente $80$ ingressos.

Encontrando o número de escolas

Agora que sabemos que cada escola recebe $80$ ingressos, podemos calcular quantas escolas serão contempladas em cada sessão.

Para a sessão vespertina, temos $400$ ingressos:

$\frac{400}{80} = 5 \text{ escolas}$

Para a sessão noturna, temos $320$ ingressos:

$\frac{320}{80} = 4 \text{ escolas}$

O número total de escolas escolhidas será a soma das escolas da sessão vespertina com as da sessão noturna:

$5 + 4 = 9 \text{ escolas}$

Portanto, o número mínimo de escolas que podem ser escolhidas, respeitando todos os critérios, é $9$.