Questão 167 do ENEM 2018 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos entender o cenário inicial da urna e como a adição de novas perguntas altera tanto a quantidade de perguntas fáceis quanto o total de perguntas.

O Cenário Inicial

O enunciado nos diz que a urna contém inicialmente $20$ perguntas e que $25\%$ delas são de nível fácil. Vamos calcular quantas perguntas fáceis existem na urna agora: $25\% \text{ de } 20 = \frac{25}{100} \cdot 20 = 0,25 \cdot 20 = 5$ Portanto, temos $5$ perguntas fáceis e $15$ perguntas de outros níveis, totalizando $20$ perguntas.

A Transformação

O gerente deseja adicionar uma certa quantidade de perguntas fáceis, que chamaremos de $x$, para que a probabilidade de sortear uma pergunta fácil passe a ser de $75\%$.

Aqui está o ponto crucial da questão: ao adicionar $x$ perguntas fáceis na urna, nós não aumentamos apenas o número de perguntas fáceis, mas também o total de perguntas na urna.

• O novo número de perguntas fáceis será: $5 + x$
• O novo total de perguntas na urna será: $20 + x$

Montando e Resolvendo a Equação

A probabilidade de retirar uma pergunta fácil é dada pela razão entre o número de perguntas fáceis e o total de perguntas. Queremos que essa probabilidade seja de $75\%$. Para facilitar os cálculos, podemos escrever $75\%$ como a fração simplificada $\frac{3}{4}$.

Montamos então a seguinte equação: $\frac{5 + x}{20 + x} = \frac{3}{4}$

Agora, resolvemos a equação multiplicando cruzado: $4 \cdot (5 + x) = 3 \cdot (20 + x)$

Aplicando a propriedade distributiva (o famoso "chuveirinho"): $20 + 4x = 60 + 3x$

Isolando a variável $x$ em um dos lados da igualdade: $4x - 3x = 60 - 20$ $x = 40$

Isso significa que o gerente precisa adicionar $40$ perguntas de nível fácil à urna.

Cuidado com a armadilha! Um erro muito comum seria calcular $75\%$ do total inicial ($20$), o que daria $15$, e subtrair as $5$ que já existem, chegando à resposta $10$ (Alternativa A). Esse raciocínio é incorreto porque ignora que, ao colocar mais cartões, o total da urna deixa de ser $20$. O cálculo da nova porcentagem deve ser feito sobre o novo total.

Portanto, a quantidade correta a ser acrescentada é $40$.