Questão 175 do ENEM 2020 — Matemática

Para resolver esse problema, precisamos dividir a situação em duas etapas: primeiro, escolher os vagões onde as agentes ficarão (garantindo que não sejam adjacentes) e, segundo, distribuir as três agentes (que são pessoas distintas) nesses vagões escolhidos.

Passo 1: Escolher os vagões

Temos $6$ vagões no total. Como $3$ deles serão ocupados pelas agentes, sobrarão $3$ vagões vazios.

Para garantir que nenhuma agente fique em um vagão adjacente ao de outra, podemos usar um truque clássico de combinatória (conhecido como Lema de Kaplansky ou método dos espaços). Vamos imaginar os $3$ vagões vazios alinhados. Eles criam $4$ "espaços" onde podemos inserir os vagões ocupados (um antes do primeiro vagão vazio, dois entre eles e um após o último):

$\_ \quad \text{Vazio} \quad \_ \quad \text{Vazio} \quad \_ \quad \text{Vazio} \quad \_$

Para que os vagões ocupados não fiquem juntos, devemos escolher $3$ desses $4$ espaços disponíveis para colocá-los. A quantidade de maneiras de escolher $3$ espaços dentre $4$ é dada por uma combinação simples:

$C_4^3$

(Apenas para ilustrar, as $4$ combinações possíveis de vagões seriam: $1-3-5$, $1-3-6$, $1-4-6$ e $2-4-6$.)

Passo 2: Distribuir as agentes

Agora que já escolhemos os $3$ vagões, precisamos colocar as $3$ agentes neles. Como as agentes são pessoas (portanto, distintas entre si), a ordem em que elas ocupam os vagões importa.

A primeira agente pode escolher qualquer um dos $3$ vagões, a segunda terá $2$ opções e a terceira ficará com o vagão restante. Isso é uma permutação simples de $3$ elementos, calculada por:

$P_3 = 3!$

Conclusão

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, multiplicamos o número de maneiras de escolher os vagões pelo número de maneiras de distribuir as agentes dentro deles. Assim, a expressão que representa o total de maneiras distintas é:

$C_4^3 \times 3!$

Isso corresponde exatamente à alternativa C.