Questão 140 do ENEM 2009 — Matemática

Entendendo a Regra do Terreno

O primeiro passo para resolver essa questão é interpretar a condição dada pelo governo: no mínimo $94\%$ da área do terreno deve ser mantida como preservação ambiental. Isso significa que a área destinada à construção da residência pode ocupar, no máximo, o restante do terreno, ou seja:

$100\% - 94\% = 6\%$

O objetivo da questão é descobrir o que Antônio precisa fazer com o seu projeto atual para que a área construída atinja exatamente esse limite de $6\%$.

Calculando as Áreas

Para facilitar os cálculos, vamos chamar a medida do lado $AB$ de $x$.

A partir do enunciado, temos as seguintes informações sobre o terreno retangular:

• $AB = x$
• Como $AB = \frac{BC}{2}$, podemos deduzir que $BC = 2x$.

A área total do terreno ($A_{\text{total}}$) é a área de um retângulo (base vezes altura):

$A_{\text{total}} = AB \cdot BC = x \cdot 2x = 2x^2$

Agora, vamos olhar para a casa de Antônio, que é um quadrado de lado $AE$:

• O enunciado diz que $AE = \frac{AB}{5}$, então o lado do quadrado é $\frac{x}{5}$.

A área da casa ($A_{\text{casa}}$) é a área de um quadrado (lado ao quadrado):

$A_{\text{casa}} = \left(\frac{x}{5}\right)^2 = \frac{x^2}{25}$

Descobrindo a Porcentagem Atual

Agora precisamos descobrir qual porcentagem do terreno a casa de Antônio está ocupando no projeto original. Para isso, dividimos a área da casa pela área total do terreno:

$\text{Razão} = \frac{A_{\text{casa}}}{A_{\text{total}}} = \frac{\frac{x^2}{25}}{2x^2}$

Para resolver essa divisão de frações, mantemos a primeira e multiplicamos pelo inverso da segunda:

$\text{Razão} = \frac{x^2}{25} \cdot \frac{1}{2x^2} = \frac{x^2}{50x^2}$

Simplificando o termo $x^2$, obtemos:

$\text{Razão} = \frac{1}{50}$

Para transformar essa fração em porcentagem, basta multiplicar o numerador e o denominador por $2$ (para que o denominador vire $100$):

$\frac{1 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{2}{100} = 2\%$

Portanto, no projeto original, a casa ocupa apenas $2\%$ do terreno.

Atingindo o Limite Permitido

Sabemos que a casa ocupa atualmente $2\%$ do terreno, mas a lei permite que ela ocupe até $6\%$. Para que a área construída passe de $2\%$ para $6\%$, precisamos multiplicar essa área por $3$, já que:

$2\% \cdot 3 = 6\%$

Logo, Antônio precisa triplicar a área do quadrado.

Cuidado com a pegadinha: Se ele triplicasse a medida do lado do quadrado (como sugere a alternativa B), a nova área seria multiplicada por $3^2 = 9$, passando a ocupar $18\%$ do terreno, o que desrespeitaria a lei ambiental!