Questão 169 do ENEM 2016 — Matemática

Entendendo o Problema

O enunciado nos diz que a cidade escolhida para receber os investimentos será aquela que apresentar a maior razão entre o número de habitantes e a quantidade de médicos.

Em matemática, a razão entre duas grandezas $A$ e $B$ é dada pela divisão de $A$ por $B$. Portanto, precisamos calcular a seguinte fração para cada uma das cidades: $\text{Razão} = \frac{\text{Número de habitantes}}{\text{Número de médicos}}$

Calculando as Razões

Vamos calcular essa razão para cada uma das cinco cidades apresentadas na tabela. Para facilitar as contas e ganhar tempo, podemos fazer estimativas em alguns casos, já que só precisamos descobrir qual é o maior valor.

Cidade M: $R_M = \frac{136.000}{340}$ Simplificando por $10$, temos $\frac{13.600}{34}$. Como $34 \times 4 = 136$, concluímos que: $R_M = 400$

Cidade X: $R_X = \frac{418.000}{2.650}$ Simplificando por $10$, temos $\frac{41.800}{265}$. Note que $265 \times 200 = 53.000$, que é maior que $41.800$. Logo, a razão é menor que $200$. $R_X < 200$

Cidade Y: $R_Y = \frac{210.000}{930}$ Simplificando por $10$, temos $\frac{21.000}{93}$. Sabemos que $93 \times 200 = 18.600$ e $93 \times 300 = 27.900$. Portanto, o valor está entre $200$ e $300$. $200 < R_Y < 300$

Cidade Z: $R_Z = \frac{530.000}{1.983}$ Podemos arredondar o denominador para $2.000$ para ter uma estimativa rápida: $\frac{530.000}{2.000} = 265$. Como o denominador real é um pouco menor, o valor exato será um pouco maior que $265$, mas certamente não chega perto de $400$. $R_Z \approx 267$

Cidade W: $R_W = \frac{108.000}{300}$ Simplificando por $100$, cortamos dois zeros: $R_W = \frac{1.080}{3} = 360$

Conclusão

Comparando os resultados obtidos:

• M: $400$
• X: $< 200$
• Y: entre $200$ e $300$
• Z: $\approx 267$
• W: $360$

A cidade que apresenta a maior razão entre o número de habitantes e a quantidade de médicos é a cidade M, com $400$ habitantes para cada médico. Portanto, ela deverá ser a contemplada com os investimentos.