Questão 137 do ENEM 2016 — Matemática

Compreensão do Problema

A questão nos fornece uma função exponencial que descreve o crescimento de uma população de bactérias ao longo do tempo:

$p(t) = 40 \cdot 2^{3t}$

onde $p(t)$ é a população em milhares de bactérias e $t$ é o tempo em horas.

O nosso objetivo é descobrir o que acontece com essa população após $20$ minutos em relação à quantidade inicial.

Conversão de Unidades

Um detalhe muito importante nesta questão é a unidade de medida do tempo. A fórmula utiliza o tempo $t$ em horas, mas o enunciado pede a população após $20$ minutos. Portanto, o primeiro passo é converter esse tempo para horas.

Sabemos que $1$ hora tem $60$ minutos. Assim, podemos montar a seguinte relação:

$t = \frac{20}{60} \text{ horas}$

Simplificando a fração por $20$, obtemos:

$t = \frac{1}{3} \text{ de hora}$

Cálculo da População

Agora que temos o tempo na unidade correta, podemos substituir $t = \frac{1}{3}$ na função dada para encontrar a população nesse instante:

$p\left(\frac{1}{3}\right) = 40 \cdot 2^{3 \cdot \frac{1}{3}}$

Multiplicando os valores no expoente:

$3 \cdot \frac{1}{3} = 1$

Substituindo de volta na equação:

$p\left(\frac{1}{3}\right) = 40 \cdot 2^1$

$p\left(\frac{1}{3}\right) = 40 \cdot 2 = 80$

Isso significa que, após $20$ minutos, a população será de $80$ milhares de bactérias.

Conclusão

O enunciado nos diz que a população inicial era de $40$ mil unidades (o que também pode ser verificado calculando o tempo zero: $p(0) = 40 \cdot 2^0 = 40$).

Comparando a população após $20$ minutos ($80$ mil) com a população inicial ($40$ mil), percebemos que:

$80 = 2 \cdot 40$

Ou seja, a quantidade de bactérias foi duplicada.