Questão 162 do ENEM 2012 — Matemática

Uma taxa de redução anual constante caracteriza um decaimento exponencial: a cada ano o valor é multiplicado por um mesmo fator menor que $1$. O raciocínio é o mesmo dos juros compostos, só que agora o valor diminui em vez de aumentar.

Vamos organizar as informações. O gráfico apresenta a taxa de abandono ao final de cada ano, com queda ao longo do período; o valor de partida é a taxa ao final de $2010$ (o último ponto do gráfico). A meta é chegar a $5,2\%$ ao final de $2013$. Entre $2010$ e $2013$ passam-se $t = 3$ anos.

Chamando de $r$ a taxa de redução anual procurada, o modelo que descreve a situação é: $V_{final} = V_{inicial} \cdot (1 - r)^t$

O que precisamos, na prática, é do fator acumulado em $3$ anos, isto é, da razão entre a taxa final e a inicial: $(1 - r)^3 = \frac{V_{final}}{V_{inicial}} = \frac{5,2}{V_{inicial}}$

Essa razão resulta em um valor próximo de $0,51$, e é justamente por isso que o enunciado oferece a dica: "Considere $(0,8)^3 = 0,51$". Usando essa aproximação: $(1 - r)^3 \approx 0,51 = (0,8)^3$

Como os expoentes são iguais (e ímpares), as bases também devem ser iguais: $1 - r = 0,8$

Resolvendo para $r$: $r = 1 - 0,8 = 0,2$

Em porcentagem: $r = 0,2 \cdot 100\% = 20\%$

Portanto, a taxa de redução anual necessária para atingir a meta é de $20\%$, o que corresponde à alternativa B.