Questão 175 do ENEM 2009 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos traduzir as informações do enunciado para a linguagem matemática, montando um sistema de equações.

O enunciado nos diz que o indicador $ICadUnico$ é a média aritmética entre a taxa de cobertura qualificada ($TC$) e a taxa de atualização de cadastros ($TA$). Ou seja:

$ICadUnico = \frac{TC + TA}{2}$

Sabemos também as fórmulas de $TC$ e $TA$:

• $TC = \frac{NV}{NF}$
• $TA = \frac{NA}{NV}$

Analisando o primeiro cenário

Inicialmente, o $ICadUnico$ do município é $0,6$. Substituindo na fórmula da média, temos:

$\frac{TC + TA}{2} = 0,6 \implies TC + TA = 1,2$

Substituindo $TC$ e $TA$ pelas suas respectivas frações:

$\frac{NV}{NF} + \frac{NA}{NV} = 1,2 \quad \text{(Equação 1)}$

Analisando o segundo cenário

O enunciado afirma que, se dobrarmos o valor de $NF$ (ou seja, passarmos a usar $2NF$), o novo $ICadUnico$ cairá para $0,5$. Note que dobrar o denominador de $TC$ faz com que a nova taxa de cobertura seja a metade da original ($\frac{NV}{2NF} = \frac{TC}{2}$). A taxa $TA$ não se altera. Montando a nova equação:

$\frac{\frac{NV}{2NF} + \frac{NA}{NV}}{2} = 0,5 \implies \frac{NV}{2NF} + \frac{NA}{NV} = 1,0 \quad \text{(Equação 2)}$

Resolvendo o sistema

Agora temos um sistema com duas equações:

1. $\frac{NV}{NF} + \frac{NA}{NV} = 1,2$
2. $\frac{NV}{2NF} + \frac{NA}{NV} = 1,0$

Podemos subtrair a Equação 2 da Equação 1 para eliminar o termo $\frac{NA}{NV}$:

$\left( \frac{NV}{NF} + \frac{NA}{NV} \right) - \left( \frac{NV}{2NF} + \frac{NA}{NV} \right) = 1,2 - 1,0$

$\frac{NV}{NF} - \frac{NV}{2NF} = 0,2$

Para subtrair as frações, tiramos o MMC que é $2NF$:

$\frac{2NV - NV}{2NF} = 0,2 \implies \frac{NV}{2NF} = 0,2$

Multiplicando ambos os lados por $2$, descobrimos o valor de $TC$:

$\frac{NV}{NF} = 0,4$

Agora, substituímos esse valor de volta na Equação 1 para encontrar $TA$:

$0,4 + \frac{NA}{NV} = 1,2 \implies \frac{NA}{NV} = 0,8$

Encontrando o valor de NF

Sabemos que $\frac{NA}{NV} = 0,8$, o que significa que $NA = 0,8 \cdot NV$.

O enunciado nos deu a informação de que $NA + NV = 3.600$. Substituindo $NA$ nessa soma:

$0,8 \cdot NV + NV = 3.600$ $1,8 \cdot NV = 3.600$ $NV = \frac{3.600}{1,8} = 2.000$

Por fim, como queremos descobrir o número de famílias estimadas ($NF$), usamos a relação que encontramos anteriormente ($\frac{NV}{NF} = 0,4$) e substituímos o valor de $NV$:

$\frac{2.000}{NF} = 0,4$ $NF = \frac{2.000}{0,4}$ $NF = 5.000$

Portanto, o número de famílias estimadas como público-alvo é $5.000$.