Questão 163 do ENEM 2019 — Matemática

Compreendendo o problema

O enunciado nos diz que o Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é um valor entre $0$ e $1$. Como nenhum dos países zerou ou atingiu o índice máximo, podemos afirmar que o IDH, que chamaremos de $X$, é um número decimal tal que $0 < X < 1$.

Temos cinco países com os seguintes índices:

• Primeiro: $X$
• Segundo: $\sqrt{X}$
• Terceiro: $X^{\frac{1}{3}}$
• Quarto: $X^2$
• Quinto: $X^3$

Nosso objetivo é descobrir qual dessas expressões resulta no maior valor.

Padronizando as expressões

Para comparar esses valores de forma justa, a melhor estratégia é transformar todas as expressões em potências de base $X$. Lembrando das propriedades de radiciação, podemos reescrever as raízes como expoentes fracionários:

• Primeiro: $X^1$
• Segundo: $X^{\frac{1}{2}} = X^{0,5}$
• Terceiro: $X^{\frac{1}{3}} \approx X^{0,33}$
• Quarto: $X^2$
• Quinto: $X^3$

A regra de ouro para bases entre 0 e 1

Nossa intuição matemática, construída com números inteiros maiores que $1$, nos diz que elevar um número a uma potência maior faz com que ele cresça (por exemplo, $2^3 > 2^2$). No entanto, quando a base é um número decimal entre $0$ e $1$, a regra se inverte!

Pense no número $0,5$ (ou $\frac{1}{2}$). Se o elevarmos ao quadrado, temos $0,5 \times 0,5 = 0,25$. O número diminuiu! Se elevarmos ao cubo, temos $0,5 \times 0,5 \times 0,5 = 0,125$, que é menor ainda.

Portanto, a regra é: para uma base $X$ onde $0 < X < 1$, quanto menor for o expoente, maior será o resultado final.

Conclusão

Agora, basta compararmos os expoentes que encontramos: $1$; $0,5$; $\frac{1}{3}$ (aproximadamente $0,33$); $2$; e $3$.

Colocando-os em ordem crescente, temos: $\frac{1}{3} < 0,5 < 1 < 2 < 3$

Como queremos o maior IDH possível, devemos procurar o menor expoente. O menor expoente é $\frac{1}{3}$, que corresponde ao índice do terceiro país ($X^{\frac{1}{3}}$). Logo, o terceiro país obteve o maior IDH.