Questão 169 do ENEM 2016 — Matemática

A questão trata do Índice de Gini, que mede a concentração de renda e é dado pela razão $\frac{A}{A+B}$, onde $A$ e $B$ são as áreas indicadas no gráfico. A empresa quer que seu índice fique igual ao do país, $0,3$, ajustando a parcela da massa salarial recebida pelos $10\%$ de maior salário. Precisamos achar esse percentual.

O gráfico e a área total

O gráfico relaciona a quantidade acumulada de funcionários (eixo horizontal, de $0$ a $100\%$) com a massa salarial acumulada (eixo vertical, de $0$ a $100\%$). A diagonal reta representa a distribuição perfeitamente igualitária, e a área sob ela é a soma $A + B$.

Como os eixos vão de $0$ a $100$, essa região é um triângulo de base $100$ e altura $100$: $A + B = \frac{100 \cdot 100}{2} = 5000$

Usando o Índice de Gini

A meta é $\dfrac{A}{A+B} = 0,3$. Substituindo $A + B = 5000$: $0,3 = \frac{A}{5000} \implies A = 0,3 \cdot 5000 = 1500$

Logo: $B = 5000 - 1500 = 3500$

Modelando a área B

Na figura, a área $B$ fica abaixo da curva de distribuição real e é delimitada pela linha tracejada vertical que passa pelo ponto $P$. O gráfico indica que o ponto $P$ está sobre a marca de $90$ no eixo horizontal — ou seja, corresponde aos $90\%$ dos funcionários de menor salário. Chamemos de $y$ a coordenada vertical de $P$, que é a porcentagem da massa salarial acumulada por esses $90\%$.

Segundo a figura, a região $B$ pode ser decomposta em duas partes divididas pela tracejada: um triângulo à esquerda (dos $0$ aos $90\%$ de funcionários) e um trapézio à direita (dos $90\%$ aos $100\%$).

1. Triângulo — base $90$ e altura $y$: $A_{\triangle} = \frac{90 \cdot y}{2} = 45y$

2. Trapézio — bases paralelas $y$ e $100$, altura $100 - 90 = 10$: $A_{trap} = \frac{(y + 100) \cdot 10}{2} = 5y + 500$

Somando: $B = 45y + 5y + 500 = 50y + 500$

Como $B = 3500$: $50y + 500 = 3500 \implies 50y = 3000 \implies y = 60$

Encontrando o percentual pedido

O valor $y = 60$ diz que os $90\%$ dos funcionários de menor salário recebem, juntos, $60\%$ da massa salarial. A questão pede a parcela dos $10\%$ de maior salário, que é o que falta para completar $100\%$: $100\% - 60\% = 40\%$

Conclusão

Para atingir a meta (Gini $= 0,3$), o percentual recebido pelos $10\%$ de maior salário deve ser de 40%. A resposta é a alternativa A.