Questão 148 do ENEM 2023 — Matemática

Cada cabo é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujo cateto oposto ao ângulo $\alpha$ é a altura $h$ do ponto $P$ no mastro. Como o mastro é perpendicular ao solo, o ângulo entre ele e o chão é reto, e o cabo esticado do ponto $P$ até o chão fecha o triângulo.

Nesse triângulo, a relação entre o cateto oposto ($h$) e a hipotenusa ($c$, o comprimento do cabo) é o seno do ângulo:

$\sin(\alpha) = \frac{h}{c} \implies c = \frac{h}{\sin(\alpha)}$

Os valores de $h$ e $\alpha$ de cada opção vêm do próprio comando. Vamos calcular o comprimento do cabo em cada uma.

Opção I

$h = 11\text{ m}$ e $\alpha = 30^\circ$, com $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$:

$c_1 = \frac{11}{\frac{1}{2}} = 11 \cdot 2 = 22\text{ m}$

Opção II

$h = 12\text{ m}$ e $\alpha = 45^\circ$, com $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$c_2 = \frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 12 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{24}{\sqrt{2}}$

Racionalizando:

$c_2 = \frac{24\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}\text{ m}$

Opção III

$h = 18\text{ m}$ e $\alpha = 60^\circ$, com $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$c_3 = \frac{18}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 18 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{36}{\sqrt{3}}$

Racionalizando:

$c_3 = \frac{36\sqrt{3}}{3} = 12\sqrt{3}\text{ m}$

Comparação

Queremos a opção com o cabo mais curto. Usando $\sqrt{2} \approx 1,41$ e $\sqrt{3} \approx 1,73$:

• Opção I: $22\text{ m}$
• Opção II: $12\sqrt{2} \approx 16,9\text{ m}$
• Opção III: $12\sqrt{3} \approx 20,8\text{ m}$

O menor comprimento é o da Opção II, igual a $12\sqrt{2}\text{ m}$, correspondente à alternativa C.