Questão 168 do ENEM 2013 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos traduzir as informações do enunciado para a linguagem matemática, utilizando as propriedades das potências de base $10$.

Primeiro, vamos entender o que é o gugol. O enunciado nos diz que ele é formado pelo algarismo $1$ seguido de $100$ zeros. Em notação de potência, podemos escrever isso como:

$\text{Gugol} = 10^{100}$

Em seguida, o texto define o gugolplex como sendo o número $10$ elevado a um gugol. Substituindo o valor que acabamos de encontrar, temos:

$\text{Gugolplex} = 10^{\text{gugol}} = 10^{10^{100}}$

Agora, precisamos descobrir quantos algarismos tem esse número gigantesco. Para isso, vamos observar um padrão simples nas potências de base $10$:

• $10^1 = 10$ (tem $2$ algarismos: o $1$ e um zero)
• $10^2 = 100$ (tem $3$ algarismos: o $1$ e dois zeros)
• $10^3 = 1000$ (tem $4$ algarismos: o $1$ e três zeros)

Perceba que a quantidade total de algarismos de uma potência $10^n$ é sempre igual ao expoente $n$ somado de $1$ (ou seja, $n + 1$ algarismos). O expoente indica a quantidade de zeros, e o $+1$ representa o algarismo $1$ que fica na frente.

Aplicando essa regra ao gugolplex, que é $10^{10^{100}}$, o nosso expoente $n$ é exatamente $10^{100}$. Portanto, o número total de algarismos será o expoente mais um:

$\text{Número de algarismos} = 10^{100} + 1$

Com isso, concluímos que a alternativa correta é a que apresenta a expressão $10^{100} + 1$.