Questão 173 do ENEM 2019 — Matemática

O gráfico traz três curvas de resposta funcional no mesmo par de eixos: no eixo horizontal está a densidade populacional da presa e, no vertical, a taxa de consumo do predador. Pela legenda, $f$ é a linha contínua, $g$ é a linha de traço-ponto e $h$ é a linha tracejada. Os pontos $A$, $B$, $C$, $D$ e $E$ marcam posições no eixo horizontal.

O comando pede o maior intervalo em que $f(x) < g(x) \quad \text{e} \quad f(x) < h(x)$ ao mesmo tempo. Traduzindo para o gráfico: precisamos do trecho do eixo horizontal em que a linha contínua ($f$) fica abaixo das outras duas linhas simultaneamente — ou seja, onde $f$ é a mais baixa das três.

Percorrendo o gráfico da esquerda para a direita:

1. De $0$ até por volta de $B$: a linha contínua ($f$) sobe rápido e está por cima das demais na maior parte desse trecho. Perto de $B$ a curva $g$ (traço-ponto) alcança e ultrapassa $f$. Ainda assim, nesse intervalo $f$ continua acima de $h$ (tracejada), então a condição de estar abaixo das duas ao mesmo tempo ainda não vale.

2. Em torno de $C$: a linha tracejada ($h$), que vinha crescendo mais devagar por baixo, também cruza a linha contínua. A partir daí, $h$ passa a ficar acima de $f$.

3. De $C$ até $E$: com $g$ já acima de $f$ e agora também $h$ acima de $f$, a linha contínua torna-se a mais baixa das três. Essa situação se mantém sem interrupção até o fim do gráfico, em $E$.

Repare que o intervalo $(C, D)$ é apenas uma parte desse trecho. Como a condição continua valendo de $D$ até $E$, o maior intervalo contínuo em que $f$ fica abaixo de $g$ e de $h$ ao mesmo tempo vai de $C$ até $E$.

Portanto, o maior intervalo em que a resposta funcional $f(x)$ é menor que $g(x)$ e $h(x)$ simultaneamente é o intervalo aberto $(C, E)$, correspondente à alternativa E.