Questão 102 do ENEM 2019 — Ciências da Natureza

Para resolver essa questão, precisamos entender como o calor flui do ambiente externo para o interior dos recipientes, derretendo o gelo. A quantidade de gelo que derrete está diretamente ligada à quantidade de calor que entra.

A Lei de Fourier e o Fluxo de Calor

A propagação de calor através das paredes de um recipiente é descrita pela Lei de Fourier. O fluxo de calor ($\Phi$) é dado por:

$\Phi = \frac{Q}{\Delta t} = \frac{k \cdot A \cdot \Delta \theta}{e}$

Onde:

• $Q$ é a quantidade de calor transferida;
• $\Delta t$ é o intervalo de tempo;
• $k$ é a condutividade térmica do material;
• $A$ é a área total das faces do recipiente;
• $\Delta \theta$ é a diferença de temperatura entre o exterior e o interior;
• $e$ é a espessura das faces.

Podemos isolar a quantidade de calor ($Q$) que entra no recipiente:

$Q = \frac{k \cdot A \cdot \Delta \theta \cdot \Delta t}{e}$

O enunciado nos diz que os dois recipientes possuem a mesma espessura ($e$), estão no mesmo ambiente (mesmo $\Delta \theta$) e o experimento durou o mesmo tempo ($\Delta t$). Portanto, todos esses termos são constantes. Isso significa que a quantidade de calor que entra é diretamente proporcional à condutividade térmica e à área do recipiente:

$Q \propto k \cdot A$

Calculando as Áreas de Superfície

O calor entra por todas as faces dos recipientes. Precisamos calcular a área total ($A$) de cada um.

Recipiente A: É um cubo com arestas de $40 \text{ cm}$. Um cubo possui $6$ faces quadradas iguais. $A_A = 6 \cdot (40 \text{ cm} \cdot 40 \text{ cm})$ $A_A = 6 \cdot 1600 \text{ cm}^2 = 9600 \text{ cm}^2$

Recipiente B: É um paralelepípedo com dimensões $60 \text{ cm} \times 40 \text{ cm} \times 40 \text{ cm}$. Ele possui $4$ faces retangulares maiores e $2$ faces quadradas menores (as "tampas"). $A_B = 4 \cdot (60 \text{ cm} \cdot 40 \text{ cm}) + 2 \cdot (40 \text{ cm} \cdot 40 \text{ cm})$ $A_B = 4 \cdot 2400 \text{ cm}^2 + 2 \cdot 1600 \text{ cm}^2$ $A_B = 9600 \text{ cm}^2 + 3200 \text{ cm}^2 = 12800 \text{ cm}^2$

Relacionando o Calor e a Massa de Gelo

Sabemos que o calor que entra é usado para fundir o gelo ($Q = m \cdot L$, onde $L$ é o calor latente de fusão). Como a massa de gelo que se fundiu no recipiente B foi o dobro da que se fundiu no recipiente A ($m_B = 2 \cdot m_A$), concluímos que o recipiente B recebeu o dobro de calor:

$Q_B = 2 \cdot Q_A$

Encontrando a Razão das Condutividades

Agora, vamos montar a razão entre as quantidades de calor usando a nossa relação de proporcionalidade ($Q \propto k \cdot A$):

$\frac{Q_A}{Q_B} = \frac{k_A \cdot A_A}{k_B \cdot A_B}$

Substituindo $Q_B$ por $2 \cdot Q_A$ e os valores das áreas que encontramos:

$\frac{Q_A}{2 \cdot Q_A} = \frac{k_A \cdot 9600}{k_B \cdot 12800}$

Simplificando a fração à esquerda e cortando os zeros à direita:

$\frac{1}{2} = \frac{k_A}{k_B} \cdot \frac{96}{128}$

Podemos simplificar a fração $\frac{96}{128}$ dividindo o numerador e o denominador por $32$:

$\frac{96}{128} = \frac{3}{4}$

Substituindo de volta na equação:

$\frac{1}{2} = \frac{k_A}{k_B} \cdot \frac{3}{4}$

Isolando a razão $\frac{k_A}{k_B}$:

$\frac{k_A}{k_B} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}$ $\frac{k_A}{k_B} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Calculando o valor decimal:

$\frac{k_A}{k_B} \approx 0,666... \approx 0,67$

A razão entre as condutividades térmicas é mais próxima de $0,67$.