Questão 142 do ENEM 2021 — Matemática

Para resolver essa questão de probabilidade, precisamos entender o que significa a condição de vitória: o jogador pontua se acertar pelo menos um dardo no alvo.

Sempre que um problema de probabilidade usar a expressão "pelo menos um", o caminho mais fácil e seguro é calcular a probabilidade do evento complementar, ou seja, a chance de o jogador errar todos os dardos. A probabilidade de acertar pelo menos um será o total ($100\%$ ou $1$) menos a probabilidade de errar todos.

Sabemos pelo enunciado que a probabilidade de acertar um dardo é de $\frac{1}{2}$. Logo, a probabilidade de errar um dardo também é: $P(\text{errar}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Se o jogador lançar $n$ dardos, como os lançamentos são eventos independentes (o resultado de um não interfere no outro), a probabilidade de ele errar todos os $n$ dardos é a multiplicação das probabilidades individuais: $P(\text{errar todos}) = \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{2^n}$

A probabilidade de o jogador pontuar (acertar pelo menos um) é o complementar disso: $P(\text{pontuar}) = 1 - \frac{1}{2^n}$

O organizador quer que essa probabilidade seja igual ou superior a $\frac{9}{10}$. Então, montamos a seguinte inequação: $1 - \frac{1}{2^n} \geq \frac{9}{10}$

Vamos isolar o termo com $n$: $1 - \frac{9}{10} \geq \frac{1}{2^n}$ $\frac{1}{10} \geq \frac{1}{2^n}$

Como ambos os denominadores são positivos, podemos multiplicar cruzado ou simplesmente inverter as frações (lembrando de inverter também o sinal da desigualdade): $10 \leq 2^n$ $2^n \geq 10$

Agora, basta testarmos os valores inteiros para $n$ (quantidade de dardos) e encontrar o menor valor que satisfaça essa condição:

• Se $n = 1$, temos $2^1 = 2$ (falso, pois $2 < 10$)
• Se $n = 2$, temos $2^2 = 4$ (falso)
• Se $n = 3$, temos $2^3 = 8$ (falso, pois $8 < 10$)
• Se $n = 4$, temos $2^4 = 16$ (verdadeiro, pois $16 \geq 10$)

Portanto, a quantidade mínima de dardos que devem ser disponibilizados em uma rodada para que a probabilidade de pontuar seja de pelo menos $\frac{9}{10}$ (ou $90\%$) é $4$.