Questão 165 do ENEM 2015 — Matemática

O que se pede é o maior raio $R$ que ainda mantém a nova piscina com área menor que a piscina retangular já existente. Então vamos calcular as duas áreas e montar uma inequação.

Área da piscina existente

A piscina atual é um retângulo de $50 \text{ m}$ por $24 \text{ m}$. Sua área é o produto dos lados:

$A_{\text{ret}} = 50 \cdot 24 = 1200 \text{ m}^2$

Área da nova piscina

Segundo a figura, a nova piscina é composta por três setores circulares de mesmo raio $R$, cada um com ângulo central de $60^\circ$. Somando os três ângulos:

$3 \cdot 60^\circ = 180^\circ$

Como $180^\circ$ é a metade de uma volta completa ($360^\circ$), a área dos três setores juntos equivale à de meio círculo de raio $R$:

$A_{\text{nova}} = \frac{\pi R^2}{2}$

Montando a inequação

A exigência é que a nova área seja menor que a existente:

$\frac{\pi R^2}{2} < 1200$

Usando a aproximação $\pi \approx 3,0$ dada no enunciado:

$\frac{3,0 \cdot R^2}{2} < 1200 \;\Longrightarrow\; 1,5 \, R^2 < 1200$

Isolando $R^2$:

$R^2 < \frac{1200}{1,5} = 800$

Buscando o maior R inteiro

Precisamos do maior inteiro cujo quadrado seja menor que $800$:

• $30^2 = 900$ — passou de $800$.
• $29^2 = 841$ — ainda maior que $800$.
• $28^2 = 784$ — menor que $800$, satisfaz a condição.

Como $29$ já ultrapassa o limite e $28$ o respeita, o maior valor possível é $R = 28 \text{ m}$, que corresponde à Alternativa B.