Questão 151 do ENEM 2011 — Matemática

Uma figura é invariante por rotação quando, ao girá-la em torno de seu centro por certo ângulo, ela se sobrepõe perfeitamente à posição original — parece que não foi movida.

Simetria de rotação e ordem

Se uma figura coincide consigo mesma $n$ vezes ao longo de uma volta completa, dizemos que ela tem simetria rotacional de ordem $n$. O menor ângulo que a deixa invariante é obtido dividindo a volta completa por essa ordem: $\text{ângulo mínimo} = \frac{360^\circ}{n}$

Aplicando à peça da calçada

A peça que se repete na calçada é formada por partes idênticas dispostas simetricamente ao redor de um centro. Considerando que ela tem simetria de ordem 3 (três partes/pontas iguais girando em torno do centro), o menor ângulo que a mantém invariante é: $\text{ângulo} = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$

Assim, ao rotacionar a peça em $120^\circ$ em torno de seu centro, cada parte ocupa exatamente o lugar da parte vizinha, e a figura permanece inalterada. Rotações de $240^\circ$ (que é $2 \times 120^\circ$) e de $360^\circ$ também a deixam invariante, mas $120^\circ$ é o menor ângulo entre as opções.

Portanto, a resposta é 120° (alternativa D).