Questão 155 do ENEM 2015 — Matemática

A ideia central aqui é comparar a área que a nova antena cobre com a área que as duas antenas antigas cobriam juntas. O comando pede a ampliação, ou seja, a diferença entre essas áreas.

Lendo a figura

A imagem mostra duas circunferências menores, iguais entre si, que se tocam (são tangentes) exatamente no ponto $O$. Em volta delas há uma circunferência maior, tracejada, que representa a cobertura da nova antena e tangencia externamente as duas menores.

Vamos chamar de $r$ o raio de cada antena antiga — esse é o valor que deve ser lido na figura da prova. Todo o cálculo será feito em função de $r$, e no final basta substituir o número indicado.

Área das duas antenas antigas

A área de um círculo é dada por: $A = \pi \cdot r^2$

Cada antena antiga cobre $\pi r^2$. Como são duas antenas idênticas, a área inicial total é: $A_{\text{inicial}} = 2 \cdot \pi r^2 = 2\pi r^2$

Raio da nova antena

Repare na geometria: o ponto $O$ é o encontro das duas circunferências menores, e a circunferência maior passa pela borda externa de cada uma delas. Assim, do centro $O$ até a borda da circunferência maior cabe exatamente um raio menor de um lado mais um raio menor do outro, isto é, o diâmetro de uma antena antiga.

Logo, o raio da nova antena é: $R = 2r$

Nova área e ampliação

A área coberta pela nova antena é: $A_{\text{nova}} = \pi \cdot R^2 = \pi (2r)^2 = 4\pi r^2$

A ampliação é a diferença entre a nova área e a área inicial: $\text{Ampliação} = A_{\text{nova}} - A_{\text{inicial}} = 4\pi r^2 - 2\pi r^2 = 2\pi r^2$

Substituindo o raio lido na figura, $r = 2\text{ km}$, temos: $\text{Ampliação} = 2\pi \cdot 2^2 = 8\pi\text{ km}^2$

Portanto, a área de cobertura foi ampliada em $8\pi\text{ km}^2$, o que corresponde à alternativa A.