Questão 146 do ENEM 2013 — Matemática

A ideia central para resolver rapidamente essa questão é a decomposição de figuras: em vez de calcular áreas em cm², adotamos como unidade de medida um dos pequenos triângulos que aparecem na própria figura e contamos quantos deles cabem em cada cor.

Definindo a unidade de área

Pela figura, cada canto do quadrado maior traz um pequeno triângulo cinza, e a lateral direita está marcada em segmentos iguais (pelos pontos $A$, $B$, $C$, $D$, $E$), o que indica que o lado do quadrado está dividido em partes iguais. Tomando um desses triângulos cinza dos cantos como referência, vamos chamar sua área de $T$.

São $4$ triângulos cinza (um em cada canto), então a área cinza total é $4T$.

O enunciado informa que pintar a parte cinza custa R$ 320,00. Como o preço da tinta é o mesmo para todas as cores, o custo de cada unidade $T$ é:

$\text{Custo}_T = \frac{320}{4} = R\$\ 80{,}00$

(ou seja, R$ 80,00 por triângulo unitário).

Calculando a área preta

Olhando um canto da figura: o triângulo cinza tem cateto igual a $1$ segmento da lateral. Junto com a faixa preta vizinha, ele forma um triângulo retângulo maior, cujo cateto vale $2$ segmentos.

Quando dobramos as dimensões lineares de uma figura semelhante (o cateto passa de $1$ para $2$ segmentos), a área é multiplicada por $2^2 = 4$. Logo, o triângulo maior (cinza + preto) tem área $4T$. A faixa preta sozinha é esse triângulo maior menos a pontinha cinza:

$\text{Área de 1 faixa preta} = 4T - T = 3T$

A figura apresenta $4$ faixas pretas iguais, então a área preta total é:

$\text{Área preta total} = 4 \times 3T = 12T$

E o custo de pintar o preto:

$\text{Custo preto} = 12 \times 80 = R\$\ 960{,}00$

Calculando a área branca

O caminho mais seguro é achar a área total do quadrado e subtrair o que já conhecemos.

O lado do quadrado grande equivale a $4$ segmentos. Se o triângulo unitário tem área $T = \frac{x^2}{2}$ (onde $x$ é o comprimento de um segmento), então $x^2 = 2T$. O quadrado grande tem lado $4x$, logo área $(4x)^2 = 16x^2$. Substituindo $x^2 = 2T$:

$\text{Área total} = 16 \times 2T = 32T$

A parte branca é o que sobra depois de tirar cinza e preto:

$\text{Área branca} = 32T - 4T - 12T = 16T$

E o custo do branco:

$\text{Custo branco} = 16 \times 80 = R\$\ 1.280{,}00$

Conclusão

Os custos para pintar as partes pretas e brancas são, respectivamente, R$ 960,00 e R$ 1.280,00.

Alternativa correta: C