Questão 159 do ENEM 2011 — Matemática

Entendendo o Problema

O objetivo da questão é encontrar a equação que torna o custo de contratação das duas empresas igual. Quando os custos totais são idênticos, dizemos que é "indiferente" para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas, pois o gasto final será o mesmo.

Montando as Equações de Custo

Para cada empresa, o custo total é formado por uma parte variável (que depende da quantidade de quilômetros construídos, representada por $n$) e uma parte fixa.

Para a primeira empresa:

• Custo variável por km: R$ 100.000,00
• Custo fixo: R$ 350.000,00
• Expressão do custo total: $C_1 = 100.000n + 350.000$

Para a segunda empresa:

• Custo variável por km: R$ 120.000,00
• Custo fixo: R$ 150.000,00
• Expressão do custo total: $C_2 = 120.000n + 150.000$

Igualando os Custos

Para que a escolha seja economicamente indiferente, os custos devem ser iguais, ou seja, precisamos impor a condição $C_1 = C_2$. Substituindo as expressões que acabamos de montar, temos:

$100.000n + 350.000 = 120.000n + 150.000$

Ao observar as alternativas fornecidas pela questão, notamos que os valores estão simplificados. Podemos dividir todos os termos da equação por $1.000$ (o que equivale a expressar os valores financeiros em milhares de reais) para encontrar a forma exata apresentada nas opções:

$100n + 350 = 120n + 150$

Essa equação corresponde perfeitamente à primeira alternativa.