Questão 160 do ENEM 2019 — Matemática

Entendendo o Problema

A questão nos pede para encontrar a nova média de altura de um time de basquete após a substituição de um jogador. Sabemos que o time possui $20$ jogadores e que a média inicial de altura é de $1,80 \text{ m}$. O jogador que entra é $0,20 \text{ m}$ mais baixo que o jogador que saiu.

O Conceito de Média Aritmética

A média aritmética simples é calculada dividindo a soma de todos os valores pela quantidade total de elementos. Em termos matemáticos:

$\text{Média} = \frac{\text{Soma Total}}{\text{Quantidade}}$

Sempre que um problema nos fornece a média e a quantidade, podemos descobrir a soma total de todos os valores multiplicando esses dois números. Esse é o "truque" para resolver a maioria das questões de média!

Calculando a Soma Total Inicial

Vamos descobrir qual era a soma das alturas de todos os $20$ jogadores antes da substituição.

$\text{Soma Inicial} = \text{Média Inicial} \times \text{Quantidade}$

$\text{Soma Inicial} = 1,80 \times 20$

$\text{Soma Inicial} = 36,00 \text{ m}$

Isso significa que, se empilhássemos todos os jogadores, a altura total seria de $36,00 \text{ m}$.

O Impacto da Substituição

O enunciado afirma que o novo jogador é $0,20 \text{ m}$ mais baixo que o jogador substituído. Isso quer dizer que a nossa "pilha" de jogadores perdeu $0,20 \text{ m}$ de altura no total. Não precisamos saber a altura exata de quem saiu ou de quem entrou, apenas a diferença que essa troca causou no grupo.

Vamos calcular a nova soma total das alturas:

$\text{Nova Soma} = 36,00 - 0,20$

$\text{Nova Soma} = 35,80 \text{ m}$

Encontrando a Nova Média

Agora que temos a nova soma total das alturas e sabemos que a quantidade de jogadores continua sendo $20$, basta calcular a nova média:

$\text{Nova Média} = \frac{\text{Nova Soma}}{\text{Quantidade}}$

$\text{Nova Média} = \frac{35,80}{20}$

Para facilitar a divisão, podemos dividir por $2$ e depois por $10$:

$\text{Nova Média} = \frac{17,90}{10} = 1,79 \text{ m}$

Um Atalho Inteligente

Existe uma maneira ainda mais rápida de resolver essa questão pensando na propriedade da aditividade da média.

Se o time perdeu $0,20 \text{ m}$ de altura no total, essa "perda" será dividida (rateada) igualmente entre todos os $20$ jogadores na hora de calcular a média.

$\text{Perda na Média} = \frac{0,20}{20} = 0,01 \text{ m}$

Portanto, a nova média será a média antiga subtraída dessa perda por jogador:

$\text{Nova Média} = 1,80 - 0,01 = 1,79 \text{ m}$

Ambos os caminhos nos levam à mesma conclusão de forma lógica e segura. A alternativa correta é a C.