Questão 156 do ENEM 2024 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos primeiro lembrar das características básicas de um octaedro regular e, em seguida, analisar o que acontece com sua estrutura durante o processo de truncamento.

Um octaedro regular é um poliedro platônico formado por $8$ faces triangulares. Se contarmos seus elementos, veremos que ele possui $12$ arestas e $6$ vértices (podemos imaginá-lo como duas pirâmides de base quadrada unidas por essa base).

O enunciado nos explica que o truncamento consiste em cortar as "pontas" do poliedro, retirando uma pequena pirâmide de cada vértice. Vamos focar no que acontece em apenas um desses vértices.

Em um octaedro regular, se você observar qualquer um de seus vértices, notará que exatamente $4$ arestas se encontram nele. Ao passarmos um plano para cortar essa ponta, o plano interceptará essas $4$ arestas.

Como resultado desse corte, o vértice original desaparece e, em seu lugar, é criada uma nova face plana. Como o plano cortou $4$ arestas, essa nova face terá $4$ lados (será um quadrado) e, consequentemente, $4$ novos vértices.

O problema garante que não há interseção entre as secções, o que significa que os cortes feitos em vértices vizinhos não se misturam. Sendo assim, podemos concluir que cada um dos vértices originais do octaedro é substituído por $4$ novos vértices.

Como o octaedro original possui $6$ vértices, basta multiplicar esse valor pela quantidade de novos vértices gerados em cada corte para encontrar o total de vértices do novo poliedro:

$V_{total} = 6 \text{ (vértices originais)} \times 4 \text{ (novos vértices por corte)}$ $V_{total} = 24$

Portanto, o octaedro truncado possui $24$ vértices.