Questão 149 do ENEM 2016 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos determinar as dimensões ideais do tampo de vidro com base nas medidas da mesa e nas restrições de sobra (moldura) exigidas pelo proprietário.

As dimensões da base da mesa são $105 \text{ cm}$ por $120 \text{ cm}$. O enunciado nos diz que o tampo de vidro deve sobrar para fora da base da mesa, formando uma moldura que deve ter um mínimo de $4 \text{ cm}$ e um máximo de $8 \text{ cm}$ de cada lado.

Como a sobra ocorre em ambos os lados de cada dimensão (por exemplo, na esquerda e na direita, ou em cima e embaixo), devemos adicionar o dobro dessas medidas às dimensões originais da base para encontrar os tamanhos permitidos para o tampo.

Calculando os limites para as dimensões do tampo

Para a sobra mínima de $4 \text{ cm}$ de cada lado, o acréscimo total em cada dimensão será de $2 \times 4 \text{ cm} = 8 \text{ cm}$. Para a sobra máxima de $8 \text{ cm}$ de cada lado, o acréscimo total em cada dimensão será de $2 \times 8 \text{ cm} = 16 \text{ cm}$.

Agora, aplicamos esses acréscimos às medidas da base da mesa:

1. Para o lado menor ($105 \text{ cm}$):

   • Medida mínima: $105 + 8 = 113 \text{ cm}$
   • Medida máxima: $105 + 16 = 121 \text{ cm}$
   • Portanto, uma das dimensões do tampo deve estar no intervalo de $113 \text{ cm}$ a $121 \text{ cm}$.

2. Para o lado maior ($120 \text{ cm}$):

   • Medida mínima: $120 + 8 = 128 \text{ cm}$
   • Medida máxima: $120 + 16 = 136 \text{ cm}$
   • Portanto, a outra dimensão do tampo deve estar no intervalo de $128 \text{ cm}$ a $136 \text{ cm}$.

Analisando as opções disponíveis

Vamos verificar quais dos tipos de tampo oferecidos pela loja possuem dimensões que se encaixam simultaneamente nos dois intervalos calculados ($[113, 121]$ e $[128, 136]$):

• Tipo 1 ($110 \text{ cm} \times 125 \text{ cm}$): Nenhuma das medidas atende aos intervalos mínimos. (Incorreto)
• Tipo 2 ($115 \text{ cm} \times 125 \text{ cm}$): A medida de $115 \text{ cm}$ está correta, mas $125 \text{ cm}$ é menor que o mínimo exigido de $128 \text{ cm}$. (Incorreto)
• Tipo 3 ($115 \text{ cm} \times 130 \text{ cm}$): A medida de $115 \text{ cm}$ está no intervalo $[113, 121]$ e a medida de $130 \text{ cm}$ está no intervalo $[128, 136]$. (Correto)
• Tipo 4 ($120 \text{ cm} \times 130 \text{ cm}$): A medida de $120 \text{ cm}$ está no intervalo $[113, 121]$ e a medida de $130 \text{ cm}$ está no intervalo $[128, 136]$. (Correto)
• Tipo 5 ($120 \text{ cm} \times 135 \text{ cm}$): A medida de $120 \text{ cm}$ está no intervalo $[113, 121]$ e a medida de $135 \text{ cm}$ está no intervalo $[128, 136]$. (Correto)

Conclusão

Os tampos dos Tipos 3, 4 e 5 satisfazem as condições de sobra exigidas. No entanto, o proprietário deseja escolher o tampo de menor área possível para comodidade dos usuários.

Comparando as dimensões dos tampos válidos:

• Tipo 3: $115 \text{ cm} \times 130 \text{ cm}$
• Tipo 4: $120 \text{ cm} \times 130 \text{ cm}$
• Tipo 5: $120 \text{ cm} \times 135 \text{ cm}$

É evidente que o Tipo 3 possui as menores dimensões entre os candidatos válidos e, consequentemente, a menor área. Logo, o tampo escolhido deve ser o do Tipo 3.