Questão 173 do ENEM 2013 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos encontrar uma expressão matemática que relacione o faturamento $F$ diretamente com o número de pessoas $P$.

Sabemos que o faturamento de um evento é o produto entre o número de pessoas presentes e o valor cobrado por ingresso. Ou seja: $F = P \cdot V$ onde $V$ é o valor do ingresso.

O enunciado nos diz que o valor inicial do ingresso é R$ 10,00 e o público inicial é de $1000$ pessoas. Além disso, a cada aumento de R$ 2,00 no valor do ingresso, o público diminui em $40$ pessoas.

Podemos chamar de $x$ a quantidade de vezes que o proprietário aplica esse aumento de R$ 2,00. Assim, podemos escrever o valor do ingresso $V$ e o número de pessoas $P$ em função de $x$: $V = 10 + 2x$ $P = 1000 - 40x$

Como o comando da questão pede o faturamento $F$ em função apenas de $P$, precisamos eliminar a variável $x$. Para isso, vamos isolar $x$ na equação do número de pessoas: $P = 1000 - 40x$ $40x = 1000 - P$ $x = \frac{1000 - P}{40}$

Agora, substituímos essa expressão de $x$ na equação do valor do ingresso $V$: $V = 10 + 2 \cdot \left( \frac{1000 - P}{40} \right)$

Simplificando a fração (dividindo o $2$ do numerador com o $40$ do denominador): $V = 10 + \frac{1000 - P}{20}$

Podemos separar a fração em duas partes para facilitar as contas: $V = 10 + \frac{1000}{20} - \frac{P}{20}$ $V = 10 + 50 - \frac{P}{20}$ $V = 60 - \frac{P}{20}$

Agora que temos o valor do ingresso $V$ escrito em função do número de pessoas $P$, podemos voltar à nossa fórmula inicial do faturamento e substituir $V$: $F = P \cdot V$ $F = P \cdot \left( 60 - \frac{P}{20} \right)$

Fazendo a propriedade distributiva (multiplicando $P$ por cada termo dentro dos parênteses): $F = 60P - \frac{P^2}{20}$

Reorganizando os termos para que a expressão fique no mesmo formato das alternativas apresentadas: $F = \frac{-P^2}{20} + 60P$

Essa é exatamente a expressão encontrada na primeira alternativa.