Questão 164 do ENEM 2014 — Matemática

Entendendo o Problema

O teste termina sob duas condições: na décima pergunta ou quando o candidato cometer o segundo erro. A questão pede a probabilidade de o teste terminar exatamente na quinta pergunta.

Para que isso aconteça, o segundo erro deve ocorrer, obrigatoriamente, na quinta pergunta. Consequentemente, nas quatro primeiras perguntas, o candidato deve ter errado exatamente uma vez e acertado as outras três.

Probabilidades Individuais

Sabemos que a probabilidade de o candidato errar uma resposta é $P(E) = 0,20$. Como a soma das probabilidades de errar e acertar deve ser igual a $1$ ($100\%$), a probabilidade de ele acertar uma resposta é: $P(A) = 1 - 0,20 = 0,80$

Calculando a Probabilidade do Evento

Podemos dividir o que precisa acontecer em duas partes:

1. O que acontece nas 4 primeiras perguntas: O candidato precisa de $1$ erro e $3$ acertos. Como o erro pode ocorrer em qualquer uma das $4$ primeiras perguntas (na 1ª, 2ª, 3ª ou 4ª), temos $4$ possibilidades de organizar esse resultado. A probabilidade de uma dessas combinações específicas ocorrer é a multiplicação das probabilidades de $1$ erro e $3$ acertos: $P_{1} = 4 \cdot (0,20)^1 \cdot (0,80)^3$ $P_{1} = 4 \cdot 0,20 \cdot 0,512$ $P_{1} = 0,80 \cdot 0,512 = 0,4096$

2. O que acontece na 5ª pergunta: Nesta pergunta, o candidato precisa obrigatoriamente errar para que o teste seja encerrado. A probabilidade de isso acontecer é simplesmente a probabilidade de um erro: $P_{2} = 0,20$

Probabilidade Total: Como os eventos são independentes e devem ocorrer em sequência (o cenário das 4 primeiras perguntas e o erro na 5ª pergunta), multiplicamos as duas probabilidades: $P_{total} = P_{1} \cdot P_{2}$ $P_{total} = 0,4096 \cdot 0,20$ $P_{total} = 0,08192$

Portanto, a probabilidade de o teste terminar na quinta pergunta é $0,08192$.