Questão 146 do ENEM 2018 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos descobrir em qual lago a população inicial de peixes, representada por $P(L)$, era a maior. O enunciado nos fornece duas fórmulas importantes que relacionam as variáveis do problema:

1. A medida do esforço de pesca: $E = 2 \cdot 10^{-7} \cdot B \cdot H$

2. A relação entre a captura, o esforço e a população de peixes: $C = E \cdot P(L)$

Nosso objetivo é analisar a população $P(L)$. Portanto, vamos isolar $P(L)$ na segunda equação: $P(L) = \frac{C}{E}$

Agora, substituímos a expressão de $E$ (da primeira equação) nessa nova fórmula: $P(L) = \frac{C}{2 \cdot 10^{-7} \cdot B \cdot H}$

Podemos reescrever essa expressão separando a parte constante da parte que varia de lago para lago: $P(L) = \left( \frac{1}{2 \cdot 10^{-7}} \right) \cdot \left( \frac{C}{B \cdot H} \right)$

Como o termo $\frac{1}{2 \cdot 10^{-7}}$ é um valor constante e positivo para todos os lagos, a população $P(L)$ será maior exatamente onde a razão $\frac{C}{B \cdot H}$ for a maior. Sendo assim, não precisamos calcular o valor exato da população; basta calcularmos essa razão para cada um dos lagos e compararmos os resultados.

Vamos aos cálculos para cada lago:

Lago I:

• $B = 5$, $H = 5$, $C = 250$
• Razão: $\frac{250}{5 \cdot 5} = \frac{250}{25} = 10$

Lago II:

• $B = 6$, $H = 10$, $C = 300$
• Razão: $\frac{300}{6 \cdot 10} = \frac{300}{60} = 5$

Lago III:

• $B = 4$, $H = 5$, $C = 180$
• Razão: $\frac{180}{4 \cdot 5} = \frac{180}{20} = 9$

Lago IV:

• $B = 3$, $H = 7$, $C = 215$
• Razão: $\frac{215}{3 \cdot 7} = \frac{215}{21} \approx 10,24$

Lago V:

• $B = 3$, $H = 10$, $C = 220$
• Razão: $\frac{220}{3 \cdot 10} = \frac{220}{30} \approx 7,33$

Comparando os valores encontrados ($10$; $5$; $9$; $10,24$ e $7,33$), observamos que a maior razão pertence ao Lago IV (aproximadamente $10,24$). Logo, é nesse lago que a população inicial de peixes era a maior.