Questão 162 do ENEM 2021 — Matemática

A questão apresenta um quadro com as regras de cobrança de um imposto $I$ conforme o preço $R$ de um produto. Essas regras formam uma função definida por partes, e nosso objetivo é traduzi-las para um gráfico. A estratégia é calcular o valor do imposto nos pontos em que a regra muda de faixa, pois eles são os "pontos de virada" do gráfico.

Analisando as faixas de preço

1. Primeira faixa (isenção) Para $R \leq 5000$, o produto é isento, ou seja, $I = 0$.

• No gráfico: uma linha horizontal sobre o eixo $R$ (altura zero), da origem até $R = 5000$.

2. Segunda faixa (alíquota de $10\%$) Para $5000 < R \leq 10000$, paga-se $10\%$ sobre o valor que exceder $5000$. No limite da faixa, $R = 10000$:

$I = 10\% \cdot (R - 5000)$ $I = 0{,}10 \cdot (10000 - 5000) = 0{,}10 \cdot 5000 = 500$

• No gráfico: segmento de reta do ponto $(5000, 0)$ até $(10000, 500)$.

3. Terceira faixa (alíquota de $30\%$) Para $R > 10000$, paga-se $500$ fixo mais $30\%$ sobre o que exceder $10000$. Tomando $R = 15000$ (extremo do gráfico das alternativas):

$I = 500 + 30\% \cdot (R - 10000)$ $I = 500 + 0{,}30 \cdot (15000 - 10000) = 500 + 0{,}30 \cdot 5000 = 500 + 1500 = 2000$

• No gráfico: segmento de reta do ponto $(10000, 500)$ até $(15000, 2000)$.

A inclinação das retas

A inclinação de cada trecho revela a diferença entre as alíquotas:

• Na segunda faixa, o preço subiu $5000$ e o imposto subiu apenas $500$.
• Na terceira faixa, o preço também subiu $5000$, mas o imposto subiu $1500$.

Como a alíquota pulou de $10\%$ para $30\%$, o terceiro trecho é obrigatoriamente mais inclinado que o segundo. O gráfico não pode ser uma reta única (isso significaria alíquota constante) nem pode ter degraus (isso significaria imposto fixo por faixa).

Conclusão

O gráfico correto precisa:

1. Ficar no zero (isenção) até $R = 5000$;
2. Subir suavemente até o ponto $(10000, 500)$;
3. Subir de forma mais íngreme até o ponto $(15000, 2000)$.

A única alternativa que respeita a isenção inicial, os pontos $(10000, 500)$ e $(15000, 2000)$ e o aumento de inclinação é a alternativa A.