Questão 175 do ENEM 2010 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos calcular três medidas de tendência central: a média ($X$), a mediana ($Y$) e a moda ($Z$) do número de gols marcados pelo time. A partir da tabela fornecida, temos os valores (gols marcados) e suas respectivas frequências (quantidade de partidas).

Primeiro, vamos determinar o total de partidas disputadas, somando as frequências: $N = 5 + 3 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1 = 20 \text{ partidas}$

Calculando a Moda ($Z$)

A moda é o valor que aparece com maior frequência em um conjunto de dados. Observando a tabela, o número de gols que ocorreu no maior número de partidas foi $0$, que aconteceu em $5$ jogos. Portanto: $Z = 0$

Calculando a Mediana ($Y$)

A mediana é o valor central de um conjunto de dados ordenado. Como temos um número par de partidas ($20$), a mediana será a média aritmética entre o $10^\circ$ e o $11^\circ$ valores. Vamos organizar os dados em ordem crescente (número de gols) e observar as posições acumuladas:

• Os $5$ primeiros valores são $0$ (posições $1$ a $5$).
• Os próximos $3$ valores são $1$ (posições $6$ a $8$).
• Os próximos $4$ valores são $2$ (posições $9$ a $12$).

Como tanto o $10^\circ$ quanto o $11^\circ$ valores caem no grupo de $2$ gols, a mediana é: $Y = \frac{2 + 2}{2} = 2$

Calculando a Média ($X$)

A média é a soma de todos os gols marcados dividida pelo total de partidas. Para encontrar o total de gols, multiplicamos cada número de gols pela quantidade de partidas em que ele ocorreu (frequência) e somamos os resultados: $\text{Total de gols} = (0 \times 5) + (1 \times 3) + (2 \times 4) + (3 \times 3) + (4 \times 2) + (5 \times 2) + (7 \times 1)$ $\text{Total de gols} = 0 + 3 + 8 + 9 + 8 + 10 + 7 = 45$

Agora, dividimos pelo número total de partidas ($20$): $X = \frac{45}{20} = 2,25$

Conclusão

Agora que temos os três valores, basta ordená-los:

• Moda ($Z$) = $0$
• Mediana ($Y$) = $2$
• Média ($X$) = $2,25$

Comparando os valores, percebemos claramente que $0 < 2 < 2,25$, ou seja: $Z < Y < X$