Questão 165 do ENEM 2018 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos dividir o problema em duas grandes etapas: a escolha dos veículos que irão para o evento e a distribuição deles nos estandes.

A Escolha dos Veículos

O evento terá dois estandes (um na entrada e outro no centro), e cada um deve receber $1$ carro compacto e $1$ caminhonete. Isso significa que, no total, precisamos selecionar $2$ carros compactos e $2$ caminhonetes.

Vamos começar pelos carros compactos. Temos $4$ modelos disponíveis e precisamos escolher $2$. A ordem em que escolhemos esses carros não importa (escolher o carro A e depois o B é o mesmo grupo que escolher o B e depois o A). Quando a ordem não importa, usamos a Combinação Simples. Portanto, o número de maneiras de escolher os carros é dado por: $C_4^2$

Agora, aplicamos a mesma lógica para as caminhonetes. Temos $6$ modelos disponíveis e precisamos escolher $2$. Novamente, a ordem de escolha não importa, então usamos: $C_6^2$

A Distribuição nos Estandes

Aqui está a grande "pegadinha" da questão. O enunciado diz que "a posição dos carros dentro de cada estande é irrelevante", mas os estandes em si estão em lugares diferentes (Entrada e Centro).

Imagine que você escolheu o Carro Vermelho e o Carro Azul. Colocar o Carro Vermelho na Entrada e o Azul no Centro é um cenário completamente diferente de colocar o Azul na Entrada e o Vermelho no Centro.

Ou seja, para os $2$ carros escolhidos, temos $2$ maneiras de distribuí-los entre os estandes (uma permutação simples de $2$ elementos, que é $2! = 2$).

Da mesma forma, para as $2$ caminhonetes escolhidas, também temos $2$ maneiras de distribuí-las entre o estande da Entrada e o estande do Centro.

Juntando Tudo

Pelo Princípio Fundamental da Contagem (Princípio Multiplicativo), como precisamos escolher os carros E escolher as caminhonetes E distribuir os carros E distribuir as caminhonetes, devemos multiplicar todas essas possibilidades.

A expressão final que fornece a quantidade total de maneiras diferentes de compor os estandes será: $C_4^2 \times C_6^2 \times 2 \times 2$

Analisando as alternativas, vemos que a alternativa correta é a que traz exatamente essa construção. A alternativa E, por exemplo, é um erro comum de quem apenas escolhe os veículos, mas esquece de distribuí-los nos estandes diferentes. Já a alternativa D erra ao usar Arranjo ($A$), pois o arranjo já contabiliza a ordem; multiplicar por $2 \times 2$ depois de usar arranjos seria contar a troca de lugares duas vezes.