Questão 174 do ENEM 2011 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos descobrir a posição do número $75\,913$ em uma lista ordenada de forma crescente.

Primeiro, vamos entender quais são os números dessa lista. O enunciado nos diz que os números gerados possuem $5$ algarismos distintos e que nenhum deles é par. Isso significa que os únicos algarismos disponíveis são os ímpares: $1, 3, 5, 7$ e $9$. Como temos exatamente $5$ algarismos ímpares para formar números de $5$ casas, cada número da lista é simplesmente uma permutação desses algarismos. O total de números possíveis é $P_5 = 5! = 120$, o que corresponde exatamente ao número de candidatos.

Para encontrar a posição do número $75\,913$, vamos contar quantos números da lista são estritamente menores que ele. Faremos isso analisando as casas decimais da esquerda para a direita (do maior para o menor valor posicional):

1. Números que começam com $1, 3$ ou $5$: Qualquer número que comece com um desses três algarismos será menor que $75\,913$. Temos $3$ opções para a primeira casa. Para as $4$ casas restantes, basta permutar os $4$ algarismos que sobraram. O total de números aqui é: $3 \times 4! = 3 \times 24 = 72$ números.

2. Números que começam com $7$ e têm o segundo algarismo menor que $5$: Se o número começar com $7$, precisamos que o segundo algarismo seja menor que $5$ para garantir que o número todo seja menor que $75\,913$. Dentre os algarismos disponíveis ($1, 3, 5, 9$), os menores que $5$ são o $1$ e o $3$. Temos então $2$ opções para a segunda casa. Para as $3$ casas restantes, permutamos os $3$ algarismos que sobraram. O total de números aqui é: $2 \times 3! = 2 \times 6 = 12$ números.

3. Números que começam com $75$ e têm o terceiro algarismo menor que $9$: Se o número começar com $75$, o terceiro algarismo deve ser menor que $9$. Os algarismos que ainda não foram usados são $1, 3$ e $9$. Os menores que $9$ são o $1$ e o $3$. Temos $2$ opções para a terceira casa. Para as $2$ casas restantes, permutamos os $2$ algarismos que sobraram. O total de números aqui é: $2 \times 2! = 2 \times 2 = 4$ números.

4. Números que começam com $759$: Se o número começar com $759$, os algarismos que sobram para as duas últimas casas são apenas o $1$ e o $3$. O menor número que podemos formar colocando esses dois algarismos em ordem crescente é justamente o $75\,913$.

Agora, basta somar todos os números que vêm antes de $75\,913$ na lista: $72 + 12 + 4 = 88 \text{ números}$

Como existem exatamente $88$ números menores que ele, o candidato com o número $75\,913$ será o próximo a ser chamado, ocupando a posição $88 + 1 = 89$.

Portanto, a ordem de chamada desse candidato é a $89$ª.