Questão 176 do ENEM 2021Matemática

ENEM 2021Matemática1ª aplicação

O sistema de numeração romano ainda é utilizado na indicação de capítulos e volumes de livros, na designação de séculos e, em ordem cronológica, de papas e reis de mesmo nome. São utilizadas sete letras do alfabeto:
Quatro fundamentais: I (vale 1); X (vale 10); C (vale 100) e M (vale 1 000).
Três secundárias: V (vale 5); L (vale 50); e D (vale 500).

As regras para escrever números romanos são:
1. Não existe símbolo correspondente ao zero;
2. Os símbolos fundamentais podem ser repetidos até três vezes e seus valores são adicionados. Exemplo: XXX = 30;
3. Uma letra posta à esquerda de outra de maior valor indica subtração dos respectivos valores. Exemplo: IX = 10 – 1 = 9;
4. Uma letra posta à direita de outra de maior valor indica adição dos respectivos valores. Exemplo: XI = 10 + 1 = 11

Em uma cidade europeia há uma placa indicando o ano de sua fundação: MCDLXIX.

Quantos anos de fundação essa cidade comemorará em 2050?
A
379
B
381
C
579
581
Resposta correta
E
601
Gabarito oficial: alternativa D

Resolução comentada

Para descobrir quantos anos a cidade comemorará em 20502050, precisamos primeiro traduzir o ano de sua fundação, que está escrito em algarismos romanos (MCDLXIX), para o nosso sistema de numeração decimal (indo-arábico). Depois, basta calcular a diferença entre o ano futuro e o ano de fundação.

O próprio enunciado nos lembra das regras fundamentais dos números romanos: letras menores à esquerda de letras maiores indicam subtração, enquanto letras menores à direita indicam adição. Vamos fatiar o número MCDLXIX para analisá-lo por partes:

  • M: O símbolo M está isolado no início e vale 10001000.
  • CD: O símbolo C (que vale 100100) está à esquerda do D (que vale 500500). Como um valor menor antecede um maior, aplicamos a regra da subtração: 500100=400500 - 100 = 400.
  • LX: O símbolo X (que vale 1010) está à direita do L (que vale 5050). Aqui, aplicamos a regra da adição: 50+10=6050 + 10 = 60.
  • IX: O símbolo I (que vale 11) está à esquerda do X (que vale 1010). Novamente, aplicamos a subtração: 101=910 - 1 = 9.

Agora, somamos todos esses valores para encontrar o ano de fundação da cidade: 1000+400+60+9=14691000 + 400 + 60 + 9 = 1469

Sabendo que a cidade foi fundada no ano de 14691469, o próximo passo é calcular a idade que ela terá no ano de 20502050. Para isso, fazemos uma subtração simples: Idade=Ano FuturoAno de Fundac¸a˜o\text{Idade} = \text{Ano Futuro} - \text{Ano de Fundação} Idade=20501469\text{Idade} = 2050 - 1469

Realizando a subtração: 20501469=5812050 - 1469 = 581

Portanto, a cidade comemorará 581581 anos de fundação em 20502050.

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Fonte: prova oficial do ENEM 2021 (INEP). Resolução comentada pela equipe do Alvo ENEM.