Questão 165 do ENEM 2020 — Matemática

Para resolver problemas que envolvem a alteração da média de um grupo, a melhor estratégia é trabalhar com a soma total dos valores. Lembre-se de que a média aritmética ($M$) é a soma de todos os valores ($S$) dividida pela quantidade de elementos ($n$): $M = \frac{S}{n} \implies S = M \cdot n$

Vamos aplicar essa ideia para descobrir a soma das alturas dos jogadores antes e depois das substituições.

Analisando a equipe original

A equipe possui $15$ jogadores com uma média de altura inicial de $1,93\text{ m}$. A soma total das alturas desses jogadores ($S_{inicial}$) é: $S_{inicial} = 15 \cdot 1,93 = 28,95\text{ m}$

O técnico vai dispensar os quatro jogadores mais baixos. Vamos calcular a soma das alturas desses quatro jogadores que sairão da equipe: $S_{saem} = 1,78 + 1,82 + 1,84 + 1,86 = 7,30\text{ m}$

Com a saída deles, restam $11$ jogadores na equipe. A soma das alturas desses $11$ jogadores que permanecem ($S_{ficam}$) será a soma inicial menos a soma dos que saíram: $S_{ficam} = 28,95 - 7,30 = 21,65\text{ m}$

Analisando a nova equipe

O objetivo do técnico é que a nova média da equipe (que continuará com $15$ jogadores) seja de, no mínimo, $1,99\text{ m}$. A nova soma total das alturas ($S_{final}$) deve ser: $S_{final} = 15 \cdot 1,99 = 29,85\text{ m}$

Para atingir essa nova soma total, precisamos saber quanto os $4$ novos jogadores devem somar juntos. Essa soma ($S_{novos}$) é a diferença entre a soma total desejada e a soma dos $11$ jogadores que já estavam na equipe: $S_{novos} = S_{final} - S_{ficam}$ $S_{novos} = 29,85 - 21,65 = 8,20\text{ m}$

Calculando a média dos três últimos jogadores

Sabemos que os $4$ novos jogadores precisam somar $8,20\text{ m}$. O enunciado nos diz que um desses novos jogadores já foi contratado e tem $2,02\text{ m}$ de altura.

Para descobrir quanto os $3$ jogadores restantes precisam somar ($S_{3\_restantes}$), basta subtrair a altura do jogador já contratado: $S_{3\_restantes} = 8,20 - 2,02 = 6,18\text{ m}$

Por fim, a questão pede a média mínima de altura que o técnico deve fixar para esses $3$ novos jogadores. Como a soma das alturas deles deve ser $6,18\text{ m}$, a média ($M_{novos}$) será: $M_{novos} = \frac{6,18}{3} = 2,06\text{ m}$

Portanto, a média mínima das estaturas para o grupo de três novos jogadores deve ser de $2,06\text{ m}$.