Questão 147 do ENEM 2016 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos determinar o número de maneiras de escolher uma dupla de tenistas com uma restrição específica: não podemos ter dois jogadores canhotos na mesma partida.

Uma estratégia muito eficiente em problemas de análise combinatória com restrições do tipo "não pode acontecer algo" é usar o método da contagem complementar. Ou seja, calculamos o total de possibilidades sem nenhuma restrição e subtraímos as possibilidades que não queremos (os casos proibidos).

Calculando o total de possibilidades

O clube possui um total de $10$ tenistas. Como a ordem em que escolhemos os dois jogadores para a partida não importa (escolher o jogador A e depois o B é o mesmo que escolher o B e depois o A), usamos uma combinação simples.

A fórmula da combinação de $n$ elementos tomados $p$ a $p$ é: $C_{n, p} = \frac{n!}{p!(n - p)!}$

O número total de maneiras de escolher $2$ jogadores entre os $10$ disponíveis é dado por: $C_{10, 2} = \frac{10!}{2!(10 - 2)!} = \frac{10!}{2! \times 8!}$

Calculando os casos proibidos

A restrição da questão é que a partida não pode ser entre dois jogadores canhotos. Portanto, o caso proibido é escolher exatamente $2$ canhotos.

Sabemos que há $4$ tenistas canhotos no grupo. O número de maneiras de formar uma dupla apenas com canhotos é: $C_{4, 2} = \frac{4!}{2!(4 - 2)!} = \frac{4!}{2! \times 2!}$

Encontrando as possibilidades válidas

Agora, basta subtrair do total de combinações possíveis aquelas que são formadas apenas por canhotos. Assim, a expressão que representa o número de possibilidades de escolha para a partida de exibição é: $\frac{10!}{2! \times 8!} - \frac{4!}{2! \times 2!}$

Analisando as alternativas fornecidas, essa expressão corresponde exatamente à alternativa A.