Questão 92 do ENEM 2018 — Ciências da Natureza

Para resolver essa questão, precisamos entender o conceito de meia-vida (ou período de semidesintegração). A meia-vida é o tempo necessário para que metade da massa de uma amostra radioativa se desintegre, ou seja, se transforme em outro elemento.

O enunciado nos diz que a meia-vida do iodo-131 é de $8$ dias. Isso significa que, a cada $8$ dias, a massa dessa substância cai pela metade.

Queremos descobrir quanto tempo leva para que a massa chegue a $\frac{1}{16}$ da massa inicial. Podemos resolver isso de duas formas: por dedução lógica passo a passo ou usando a fórmula da desintegração radioativa.

Método 1: Passo a passo

Vamos acompanhar o que acontece com a massa inicial ($m_0$) a cada período de meia-vida ($8$ dias):

• Após a 1ª meia-vida ($8$ dias): a massa cai para $\frac{1}{2}$ de $m_0$.
• Após a 2ª meia-vida ($16$ dias): a massa cai para metade de $\frac{1}{2}$, ou seja, $\frac{1}{4}$ de $m_0$.
• Após a 3ª meia-vida ($24$ dias): a massa cai para metade de $\frac{1}{4}$, ou seja, $\frac{1}{8}$ de $m_0$.
• Após a 4ª meia-vida ($32$ dias): a massa cai para metade de $\frac{1}{8}$, ou seja, $\frac{1}{16}$ de $m_0$.

Portanto, foram necessárias $4$ meias-vidas para atingir a fração desejada. Como cada meia-vida dura $8$ dias, o tempo total é: $t = 4 \times 8 = 32 \text{ dias}$

Método 2: Usando a fórmula

A relação entre a massa final ($m$), a massa inicial ($m_0$) e o número de meias-vidas ($x$) é dada por: $m = \frac{m_0}{2^x}$

O problema nos diz que a massa final deve ser $\frac{1}{16}$ da massa inicial, ou seja, $m = \frac{m_0}{16}$. Substituindo na fórmula: $\frac{m_0}{16} = \frac{m_0}{2^x}$

Podemos simplificar $m_0$ dos dois lados: $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^x}$

Sabemos que $16 = 2^4$. Logo: $\frac{1}{2^4} = \frac{1}{2^x} \implies x = 4$

Isso significa que se passaram $4$ meias-vidas. O tempo total ($t$) é o número de meias-vidas multiplicado pelo tempo de cada meia-vida ($P$): $t = x \cdot P$ $t = 4 \cdot 8 = 32 \text{ dias}$

Ambos os métodos nos levam à conclusão de que o tempo estimado para que o material se desintegre até atingir $\frac{1}{16}$ de sua massa inicial é de $32$ dias.