Questão 167 do ENEM 2010 — Matemática

O esboço das cinco primeiras linhas do painel sugere um padrão de crescimento: cada linha tem uma estrela a mais que a anterior. Supondo esse padrão (1, 2, 3, 4, 5, ... estrelas por linha), temos:

• 1ª linha: $1$ estrela
• 2ª linha: $2$ estrelas
• 3ª linha: $3$ estrelas
• 4ª linha: $4$ estrelas
• 5ª linha: $5$ estrelas

Como a quantidade de estrelas aumenta sempre de uma em uma, a sequência de estrelas por linha forma uma Progressão Aritmética (P.A.), em que:

• o primeiro termo é $a_1 = 1$;
• a razão é $r = 1$ (a cada linha, uma estrela a mais);
• o número total de linhas é $n = 150$.

Seguindo esse padrão, a 150ª linha teria $a_{150} = 150$ estrelas.

O problema pede a quantidade total de estrelas do painel. Em vez de somar linha por linha, usamos a fórmula da soma dos termos de uma P.A. finita:

$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Substituindo os valores:

$S_{150} = \frac{(1 + 150) \cdot 150}{2}$

$S_{150} = \frac{151 \cdot 150}{2}$

Dividindo o $150$ por $2$ antes de multiplicar, para facilitar:

$S_{150} = 151 \cdot 75 = 11325$

Portanto, seriam necessárias aproximadamente $11.325$ estrelas para o painel completo.

Comparando com as estimativas dos funcionários:

• FUNCIONÁRIO I: $\approx 200$
• FUNCIONÁRIO II: $\approx 6.000$
• FUNCIONÁRIO III: $\approx 12.000$
• FUNCIONÁRIO IV: $\approx 22.500$
• FUNCIONÁRIO V: $\approx 22.800$

O valor $11.325$ está muito mais próximo de $12.000$ do que de qualquer outra estimativa. Logo, o Funcionário III apresentou o resultado mais próximo, e a resposta é a alternativa C.