Questão 63 do ENEM 2015 — Ciências da Natureza

Para resolver essa questão, precisamos relacionar os conceitos de gravitação universal e movimento circular uniforme (MCU). O enunciado nos diz que um objeto orbita um buraco negro em um movimento circular uniforme e que a força gravitacional atua como a força resultante centrípeta desse movimento.

A força gravitacional ($F_g$) entre o buraco negro de massa $M$ e o objeto de massa $m$, separados por uma distância $R$, é dada pela Lei da Gravitação Universal de Newton: $F_g = \frac{G \cdot M \cdot m}{R^2}$

Como o objeto descreve uma órbita circular, a força resultante que atua sobre ele é a força centrípeta ($F_{cp}$), que pode ser calculada por: $F_{cp} = \frac{m \cdot v^2}{R}$ onde $v$ é a velocidade orbital do objeto.

Igualando a força gravitacional à força centrípeta, como instruído pelo enunciado, temos: $\frac{G \cdot M \cdot m}{R^2} = \frac{m \cdot v^2}{R}$

Podemos simplificar a massa do objeto ($m$) de ambos os lados e multiplicar ambos os lados por $R$ para simplificar o denominador: $\frac{G \cdot M}{R} = v^2$

Sabemos que no movimento circular uniforme, a velocidade escalar $v$ relaciona-se com o período $T$ (tempo para uma volta completa) e o raio $R$ da órbita através da equação: $v = \frac{2 \pi R}{T}$

Substituindo essa expressão da velocidade na equação anterior, obtemos: $\frac{G \cdot M}{R} = \left( \frac{2 \pi R}{T} \right)^2$

Elevando os termos ao quadrado: $\frac{G \cdot M}{R} = \frac{4 \pi^2 R^2}{T^2}$

Nosso objetivo é encontrar a massa do buraco negro ($M$). Para isso, vamos isolar $M$ na equação. Passamos o $R$ que está dividindo no lado esquerdo para o outro lado multiplicando, e a constante $G$ que está multiplicando passa dividindo: $M = \frac{4 \pi^2 R^2 \cdot R}{G \cdot T^2}$ $M = \frac{4 \pi^2 R^3}{G T^2}$

Analisando as alternativas, chegamos à conclusão de que a expressão correta para a massa do buraco negro é a apresentada na alternativa D.