Questão 177 do ENEM 2017 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos determinar qual formato de senha atende às exigências da empresa. O enunciado original dessa questão do ENEM nos informa que o número esperado de clientes é de $1.000.000$ (ou $10^6$).

A condição da empresa é que o número total de senhas possíveis ($N$) seja estritamente maior que o número de clientes e, no máximo, o dobro desse valor. Matematicamente, queremos encontrar a opção onde: $1.000.000 < N \le 2.000.000$

Para calcular o número de senhas de cada formato, utilizaremos o Princípio Fundamental da Contagem. Como as letras e os números podem se repetir em qualquer posição, temos as seguintes opções de escolha para cada caractere:

• Para cada letra ($\text{L}$), há $26$ possibilidades.
• Para cada dígito ($\text{D}$), há $10$ possibilidades.

Vamos analisar cada uma das opções calculando o total de combinações possíveis multiplicando as possibilidades de cada posição:

Opção I: LDDDDD

Temos $1$ letra e $5$ dígitos. $N = 26 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 26 \times 10^5 = 2.600.000$ Esse valor é maior que $2.000.000$, logo, ultrapassa o dobro do número esperado de clientes. Portanto, não serve.

Opção II: DDDDDD

Temos $6$ dígitos. $N = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^6 = 1.000.000$ Esse valor é exatamente igual ao número de clientes, mas a empresa exige que a quantidade de senhas seja superior a esse número. Portanto, não serve.

Opção III: LLDDDD

Temos $2$ letras e $4$ dígitos. $N = 26 \times 26 \times 10^4 = 26^2 \times 10.000 = 676 \times 10.000 = 6.760.000$ Esse valor é muito superior a $2.000.000$. Portanto, não serve.

Opção IV: DDDDD

Temos $5$ dígitos. $N = 10^5 = 100.000$ Esse valor é inferior ao número de clientes. Portanto, não serve.

Opção V: LLLDD

Temos $3$ letras e $2$ dígitos. $N = 26 \times 26 \times 26 \times 10^2 = 26^3 \times 100$ Sabemos que $26^2 = 676$. Multiplicando por $26$ novamente, temos: $676 \times 26 = 17.576$ Substituindo de volta no cálculo total: $N = 17.576 \times 100 = 1.757.600$ Esse valor é maior que $1.000.000$ e menor que $2.000.000$, atendendo perfeitamente a todas as condições estabelecidas pela empresa.

Dessa forma, a opção de formato que mais se adequa é a V.