Questão 144 do ENEM 2020 — Matemática

Para encontrar a medida do lado do triângulo equilátero (que chamaremos de $L$), vamos usar as informações da figura e a área do quadrado.

Começamos pelo quadrado inscrito. Sua área vale $1 \text{ m}^2$, e como a área de um quadrado é o lado ao quadrado, temos: $l^2 = 1 \implies l = 1 \text{ m}$

Conforme a figura, o quadrado está inscrito com um de seus lados apoiado sobre a base do triângulo e os dois vértices superiores tocando os lados inclinados. Assim, a base do triângulo fica dividida em três partes: o lado do quadrado, no centro, e dois pequenos segmentos, um de cada lado. Pela simetria da figura, esses dois segmentos têm a mesma medida, que chamaremos de $x$. Logo: $L = x + 1 + x = 2x + 1$

Para achar $x$, olhamos para um dos pequenos triângulos retângulos formados em cada canto inferior, entre o lado inclinado, a base e a lateral do quadrado.

• O ângulo interno da base de um triângulo equilátero mede $60^\circ$.
• O cateto oposto a esse ângulo é o lado vertical do quadrado, que mede $1 \text{ m}$.
• O cateto adjacente é o segmento $x$.

Usando a tangente desse ângulo: $\tan(60^\circ) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} = \frac{1}{x}$

Como $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$: $\sqrt{3} = \frac{1}{x} \implies x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Substituindo na expressão do lado: $L = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + 1 = \frac{2}{\sqrt{3}} + 1$

Racionalizando a fração (multiplicando numerador e denominador por $\sqrt{3}$): $L = \frac{2\sqrt{3}}{3} + 1$

O enunciado manda usar $\sqrt{3} \approx 1,7$: $L \approx \frac{2 \cdot 1,7}{3} + 1 = \frac{3,4}{3} + 1 \approx 1,13 + 1 = 2,13 \text{ m}$

Comparando com as alternativas, o valor aproximado mais próximo é $2,1 \text{ m}$.