Questão 108 do ENEM 2020 — Ciências da Natureza

Entendendo o Problema

O problema nos pede para calcular em quantos dias um lago atingirá a concentração máxima permitida de íons fosfato ($\text{PO}_4^{3-}$), sabendo que ele recebe diariamente uma certa quantidade de esgoto contendo íons tripolifosfato ($\text{P}_3\text{O}_{10}^{5-}$). Esse tripolifosfato reage com a água e se transforma no fosfato que polui o lago.

Para resolver, precisamos descobrir duas coisas:

1. Qual é a massa total de fosfato que o lago suporta até atingir o limite?
2. Qual é a massa de fosfato que entra no lago por dia?

Massa Máxima de Fosfato no Lago

O volume do lago é de $8.000\text{ m}^3$. Como as concentrações foram dadas em litros, vamos converter esse volume: $V_{\text{lago}} = 8.000\text{ m}^3 = 8.000 \times 1.000\text{ L} = 8 \times 10^6\text{ L}$

A legislação permite uma concentração máxima de $0,030\text{ mg L}^{-1}$ de fosfato. Assim, a massa máxima de fosfato ($\text{PO}_4^{3-}$) que o lago pode conter é: $m_{\text{máx}} = 8 \times 10^6\text{ L} \times 0,030\text{ mg L}^{-1} = 240.000\text{ mg}$ Convertendo para gramas para facilitar os cálculos futuros: $m_{\text{máx}} = 240\text{ g}$

Massa de Tripolifosfato Adicionada por Dia

O esgoto é despejado a uma taxa de $16\text{ m}^3$ por dia. Convertendo para litros: $\text{Vazão} = 16\text{ m}^3\text{ dia}^{-1} = 16.000\text{ L dia}^{-1}$

A concentração de tripolifosfato no esgoto é de $0,085\text{ mg L}^{-1}$. A massa de tripolifosfato que entra no lago diariamente é: $m_{\text{tripolifosfato}} = 16.000\text{ L dia}^{-1} \times 0,085\text{ mg L}^{-1} = 1.360\text{ mg dia}^{-1}$ Ou seja, entram $1,36\text{ g}$ de $\text{P}_3\text{O}_{10}^{5-}$ por dia.

Estequiometria: De Tripolifosfato para Fosfato

O tripolifosfato não fica intacto; ele reage com a água formando fosfato, conforme a equação balanceada fornecida: $\text{P}_3\text{O}_{10}^{5-}\text{ (aq)} + 2\text{ H}_2\text{O (l)} \rightarrow 3\text{ PO}_4^{3-}\text{ (aq)} + 4\text{ H}^+\text{ (aq)}$

A proporção estequiométrica nos diz que $1\text{ mol}$ de $\text{P}_3\text{O}_{10}^{5-}$ produz $3\text{ mols}$ de $\text{PO}_4^{3-}$. Vamos calcular as massas envolvidas nessa proporção usando as massas molares dadas:

• Massa de $1\text{ mol}$ de $\text{P}_3\text{O}_{10}^{5-}$ = $253\text{ g}$
• Massa de $3\text{ mols}$ de $\text{PO}_4^{3-}$ = $3 \times 95\text{ g} = 285\text{ g}$

Isso significa que cada $253\text{ g}$ de tripolifosfato geram $285\text{ g}$ de fosfato. Agora, podemos descobrir quanto de fosfato é gerado pelos $1,36\text{ g}$ de tripolifosfato que entram por dia: $m_{\text{fosfato/dia}} = 1,36\text{ g} \times \frac{285\text{ g}}{253\text{ g}} \approx 1,532\text{ g dia}^{-1}$

Calculando o Tempo Necessário

Sabemos que o lago suporta no máximo $240\text{ g}$ de fosfato e que recebe cerca de $1,532\text{ g}$ por dia. O tempo necessário para atingir o limite é: $t = \frac{240\text{ g}}{1,532\text{ g dia}^{-1}} \approx 156,6\text{ dias}$

O valor mais próximo entre as alternativas é $158$ dias.

Nota sobre o arredondamento: Se, durante os cálculos, a concentração de fosfato gerada no esgoto fosse calculada primeiro ($0,085 \times \frac{285}{253} \approx 0,0957\text{ mg L}^{-1}$) e arredondada (ou truncada) pelo examinador para $0,095\text{ mg L}^{-1}$, a massa diária seria de $1,52\text{ g dia}^{-1}$. Dividindo $240\text{ g}$ por $1,52\text{ g dia}^{-1}$, chegaríamos a exatamente $157,89\text{ dias}$, o que justifica perfeitamente o gabarito oficial de $158$ dias.