Questão 157 do ENEM 2010 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos determinar quantos alunos preferem somente MPB e, em seguida, calcular a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso pertencer a esse grupo.

Organizando os dados

O enunciado nos fornece as seguintes informações sobre as preferências musicais de um total de $1.000$ alunos:

• Total de alunos que preferem MPB: $200$
• Alunos que preferem Rock e MPB: $60$
• Alunos que preferem Samba e MPB: $50$
• Alunos que preferem Rock, Samba e MPB (os três estilos): $20$

Utilizando a Teoria dos Conjuntos

A quantidade de $200$ alunos que preferem MPB inclui também aqueles que gostam de Rock, de Samba ou de ambos. Para encontrar os que gostam exclusivamente de MPB, precisamos subtrair as interseções, tomando cuidado para não subtrair a mesma região duas vezes. O uso de um Diagrama de Venn facilita muito esse processo.

Vamos analisar as interseções de dentro para fora (começando pela interseção dos três conjuntos):

1. Gostam dos três estilos: $20$ alunos.
2. Gostam apenas de Rock e MPB (mas não de Samba): Como $60$ alunos gostam de Rock e MPB, e $20$ desses também gostam de Samba, temos $60 - 20 = 40$ alunos.
3. Gostam apenas de Samba e MPB (mas não de Rock): Como $50$ alunos gostam de Samba e MPB, e $20$ desses também gostam de Rock, temos $50 - 20 = 30$ alunos.

Agora, podemos descobrir quantos alunos gostam somente de MPB. Sabemos que o total do conjunto MPB é $200$. Subtraindo as partes que têm interseção com outros estilos, obtemos: $\text{Somente MPB} = 200 - (40 + 30 + 20)$ $\text{Somente MPB} = 200 - 90 = 110 \text{ alunos}$

Calculando a probabilidade

A probabilidade ($P$) de escolhermos ao acaso um aluno que prefira somente MPB é a razão entre o número de alunos que preferem somente MPB (casos favoráveis) e o número total de alunos pesquisados (casos possíveis): $P = \frac{110}{1.000}$

Simplificando a fração para encontrar a porcentagem: $P = \frac{11}{100} = 11\%$

Portanto, a probabilidade de o estudante selecionado preferir somente MPB é de $11\%$.