Questão 173 do ENEM 2018 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos traduzir o movimento físico do guindaste para um modelo geométrico simples.

Entendendo a Geometria do Sistema

Observe a figura formada pelo cabo de aço, o solo e a viga. Como o cabo de aço se mantém sempre na vertical e o solo está na horizontal, eles formam entre si um ângulo de $90^\circ$ no ponto $O$. A viga, por sua vez, liga o cabo ao solo.

Isso significa que, em qualquer instante do içamento (do tempo $t = 0$ até $t_f$), a figura geométrica formada é um triângulo retângulo, no qual a viga atua como a hipotenusa.

O problema pede para analisarmos o comportamento da distância do ponto $O$ (vértice do ângulo reto) até o ponto $M$. Como o enunciado afirma que $M$ é o ponto médio da viga, o segmento de reta que liga $O$ a $M$ é conhecido na geometria como a mediana relativa à hipotenusa.

A Propriedade Fundamental

É muito comum a nossa intuição nos enganar neste momento. Como a base da viga está escorregando pelo chão em direção ao ponto $O$, parece lógico pensar que o ponto $M$ também está se aproximando de $O$, o que faria a distância diminuir. Porém, existe uma propriedade belíssima e imutável da geometria plana que diz o seguinte:

Em qualquer triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa mede exatamente a metade do comprimento da hipotenusa.

Podemos visualizar isso de uma forma ainda mais intuitiva: imagine uma circunferência invisível onde a viga é o diâmetro. Como o ângulo no ponto $O$ é de $90^\circ$, a geometria nos garante (pelo teorema do arco capaz ou ângulo inscrito) que o ponto $O$ obrigatoriamente pertence à borda dessa circunferência.

Sendo $M$ o ponto médio da viga (o diâmetro), $M$ é exatamente o centro dessa circunferência. Qual é a distância do centro ($M$) até qualquer ponto na borda ($O$)? É o raio! E o raio de uma circunferência não muda de tamanho, não importa como a viga gire ou se incline.

Portanto, se a viga tem um comprimento total $L$, a distância de $M$ até $O$ será sempre $\frac{L}{2}$, do início ao fim do movimento.

Analisando os Gráficos

Acabamos de provar matematicamente que a distância do ponto $M$ ao ponto $O$ não aumenta nem diminui; ela é estritamente constante durante todo o tempo de içamento.

Ao procurarmos o gráfico que descreve a Distância em função do Tempo, precisamos de uma representação onde o valor no eixo vertical (Distância) não se altere à medida que avançamos no eixo horizontal (Tempo).

O único gráfico que mostra uma linha reta perfeitamente horizontal, indicando um valor invariável ao longo do tempo, é o da Alternativa A.