Questão 158 do ENEM 2011 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos acompanhar a quantidade de medicamento no organismo do paciente ao longo do tempo, considerando a nova frequência de ingestão sugerida por ele (de $6$ em $6$ horas).

O conceito fundamental aqui é o de meia-vida, que é o tempo necessário para que a quantidade da substância no corpo caia pela metade. O enunciado nos diz que a meia-vida do medicamento é de $6$ horas. Isso significa que, a cada $6$ horas, a quantidade de remédio presente no sangue é dividida por $2$.

Como o paciente quer tomar um comprimido de $800\text{ mg}$ a cada $6$ horas, a cada nova dose devemos somar $800\text{ mg}$ à metade da quantidade que havia sobrado da dose anterior. Vamos calcular o teor do medicamento no sangue a cada intervalo de $6$ horas, logo após a ingestão de cada comprimido:

• No início ($t = 0\text{ h}$): O paciente toma o 1º comprimido. Quantidade no sangue: $800\text{ mg}$.

• Após $6$ horas ($t = 6\text{ h}$): A dose anterior caiu pela metade: $800 \div 2 = 400\text{ mg}$. O paciente toma o 2º comprimido: $+ 800\text{ mg}$. Quantidade no sangue: $400 + 800 = 1200\text{ mg}$.

• Após $12$ horas ($t = 12\text{ h}$): A quantidade acumulada caiu pela metade: $1200 \div 2 = 600\text{ mg}$. O paciente toma o 3º comprimido: $+ 800\text{ mg}$. Quantidade no sangue: $600 + 800 = 1400\text{ mg}$.

• Após $18$ horas ($t = 18\text{ h}$): A quantidade acumulada caiu pela metade: $1400 \div 2 = 700\text{ mg}$. O paciente toma o 4º comprimido: $+ 800\text{ mg}$. Quantidade no sangue: $700 + 800 = 1500\text{ mg}$.

• Após $24$ horas ($t = 24\text{ h}$): A quantidade acumulada caiu pela metade: $1500 \div 2 = 750\text{ mg}$. O paciente toma o 5º comprimido: $+ 800\text{ mg}$. Quantidade no sangue: $750 + 800 = 1550\text{ mg}$.

O enunciado define que a superdosagem (risco de intoxicação) ocorre quando o teor do medicamento ultrapassa $1520\text{ mg}$. Como vimos nos cálculos, logo após tomar a dose em $t = 24\text{ h}$, a concentração atinge $1550\text{ mg}$, superando o limite de segurança.

Portanto, o paciente correria o risco de estar intoxicado em $24$ horas.