Questão 158 do ENEM 2019 — Matemática

Antes de partir para os cálculos, vale lembrar o significado de cada parâmetro na forma geral $P(t) = \pm A\,\text{sen}(wt + \theta)$: $A$ é a amplitude (o afastamento máximo em relação ao eixo horizontal), $w$ é a frequência angular (ligada ao período por $w = \frac{2\pi}{T}$) e $\theta$ é o ângulo de fase (o "atraso" ou "adianto" da onda em relação ao seno puro). Vamos extrair cada um desses parâmetros a partir do gráfico.

Determinando a amplitude ($A$)

A amplitude é o valor máximo que a posição atinge em relação ao eixo horizontal. No gráfico, os picos da curva chegam ao valor $+4$ e os vales descem até $-4$. Como a oscilação se dá simetricamente entre $+4$ e $-4$, a amplitude é: $A = 4$

Encontrando o período ($T$)

O período é o tempo que o movimento leva para completar um ciclo inteiro (subir, descer e retornar ao ponto de partida repetindo o mesmo padrão). No gráfico, a curva parte da origem, sobe até o pico, retorna, desce até o vale e volta a cruzar o eixo iniciando um novo ciclo. Esse ciclo completo se fecha no intervalo de $t = 0$ até $t = \pi$. Logo: $T = \pi$

Calculando a frequência angular ($w$)

O enunciado fornece a relação entre a frequência angular e o período: $w = \frac{2\pi}{T}$. Substituindo o período encontrado: $w = \frac{2\pi}{\pi} = 2$

Analisando a fase inicial ($\theta$) e o sinal

O ponto de partida da curva revela a fase e o sinal. No instante $t = 0$ a posição vale zero e, logo em seguida, a curva assume valores positivos (sobe). Esse é exatamente o comportamento do seno puro: começa em zero e cresce. Isso indica que o sinal que acompanha a amplitude é positivo e que não há deslocamento horizontal, ou seja, $\theta = 0$.

Montando a equação final

Substituindo os parâmetros na forma geral: $P(t) = +A\,\text{sen}(wt + \theta)$ $P(t) = 4\,\text{sen}(2t + 0)$ $P(t) = 4\,\text{sen}(2t)$

A expressão que representa a posição do pistão é $P(t) = 4\,\text{sen}(2t)$, correspondente à alternativa A.