Questão 176 do ENEM 2023 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos identificar o padrão de formação da sequência dos números pentagonais. Os seis primeiros números pentagonais, valores canônicos dessa sequência clássica, são:

• $1^{\circ}$ termo: $1$
• $2^{\circ}$ termo: $5$
• $3^{\circ}$ termo: $12$
• $4^{\circ}$ termo: $22$
• $5^{\circ}$ termo: $35$
• $6^{\circ}$ termo: $51$

O problema nos pede para encontrar o oitavo número pentagonal. Para isso, vamos analisar a diferença entre os termos consecutivos dessa sequência para descobrir a sua lei de formação:

• $5 - 1 = 4$
• $12 - 5 = 7$
• $22 - 12 = 10$
• $35 - 22 = 13$
• $51 - 35 = 16$

Observe que as diferenças entre os termos não são constantes, mas elas próprias formam uma nova sequência: $(4, 7, 10, 13, 16, \dots)$.

Essa nova sequência é uma Progressão Aritmética (PA) simples, na qual cada termo aumenta em $3$ unidades em relação ao anterior (ou seja, a razão da PA é $r = 3$). Isso caracteriza a sequência original dos números pentagonais como uma Progressão Aritmética de 2ª ordem.

Sabendo que o padrão de aumento das diferenças é somar $3$, podemos descobrir quais serão os próximos acréscimos para encontrar o $7^{\circ}$ e o $8^{\circ}$ termos da sequência principal.

O próximo acréscimo (para chegar ao $7^{\circ}$ termo) será: $16 + 3 = 19$

Portanto, o $7^{\circ}$ número pentagonal é: $51 + 19 = 70$

O acréscimo seguinte (para chegar ao $8^{\circ}$ termo) será: $19 + 3 = 22$

Finalmente, o $8^{\circ}$ número pentagonal será: $70 + 22 = 92$

Assim, seguindo o padrão numérico estabelecido, o oitavo número pentagonal é $92$.