Questão 144 do ENEM 2011 — Matemática

Entendendo o processo de corte

A figura mostra um cubo, com o ponto $O$ marcado no centro da face superior, ao lado de uma pirâmide cujo ápice é justamente esse ponto $O$ e cuja base é o quadrilátero $ABCD$. Ou seja, os quatro cortes partem de $O$ (no topo) em direção às arestas da base, e o que sobra ao final é a pirâmide de vértice $O$ e base $ABCD$.

O detalhe decisivo do enunciado é a expressão "nessa ordem": os cortes acontecem um após o outro, e não todos ao mesmo tempo. Cada corte que liga o ponto $O$ a uma aresta define um plano. Vamos acompanhar a sequência para entender o formato de cada sólido retirado.

Os dois primeiros cortes ($AD$ e $BC$)

Os dois primeiros planos passam por $O$ e pelas arestas $AD$ e $BC$, que são arestas opostas da base. Como essas arestas são paralelas entre si e $O$ está no topo, cada um desses cortes remove uma "cunha" lateral do cubo.

Pela simetria do cubo em relação a $O$, esses dois primeiros sólidos retirados têm o mesmo formato: são dois sólidos idênticos entre si (um prisma/cunha triangular de cada lado).

Os dois últimos cortes ($AB$ e $CD$)

Depois de remover as duas cunhas anteriores, sobra um sólido central. Sobre ele são feitos os dois últimos cortes, ligando $O$ às arestas $AB$ e $CD$ (as outras duas arestas opostas da base).

Novamente pela simetria em relação a $O$, esses dois últimos sólidos retirados são idênticos entre si — mas têm formato diferente dos dois primeiros, porque agora o corte é feito no sólido que já havia sido reduzido pelas cunhas anteriores. Por isso a ordem importa: o 3º e o 4º sólidos não são iguais ao 1º e ao 2º.

Conclusão

O que sobra no final é exatamente a pirâmide de vértice $O$ e base $ABCD$ mostrada na figura. Os quatro sólidos descartados formam dois pares:

• os dois primeiros (cortes em $AD$ e $BC$) são iguais entre si;
• os dois últimos (cortes em $AB$ e $CD$) são iguais entre si, porém diferentes do primeiro par.

Logo, os formatos dos sólidos descartados são iguais dois a dois, o que corresponde à alternativa E.