Questão 176 do ENEM 2016 — Matemática

Para resolver essa questão, precisamos relacionar o número de vértices ($V$) e o número de faces ($F$) de um poliedro de Platão cujas faces são triangulares.

O enunciado nos fornece a Relação de Euler, que é válida para todo poliedro convexo: $V - A + F = 2$

Como queremos uma equação que relacione apenas $V$ e $F$, precisamos encontrar uma maneira de substituir o número de arestas ($A$) nessa fórmula.

Sabemos que todas as faces desse cristal são triângulos. Um triângulo possui $3$ arestas. Se multiplicarmos o número total de faces ($F$) por $3$, estaremos contando o número de arestas de todas as faces. No entanto, em um poliedro, cada aresta é sempre compartilhada por exatamente duas faces vizinhas. Isso significa que, ao fazermos a conta $3F$, contamos cada aresta duas vezes.

Portanto, a relação correta entre o número de arestas e o número de faces é: $2A = 3F \implies A = \frac{3F}{2}$

Agora, podemos substituir essa expressão para $A$ na Relação de Euler: $V - \frac{3F}{2} + F = 2$

Para eliminar o denominador e simplificar a equação, multiplicamos todos os termos por $2$: $2V - 3F + 2F = 4$

Somando os termos semelhantes ($-3F + 2F$), obtemos a relação final: $2V - F = 4$

Essa é exatamente a equação apresentada na alternativa correta.