Questão 165 do ENEM 2011 — Matemática

Para resolvermos essa questão, precisamos entender a relação entre o valor da mensalidade e o número de disciplinas escolhidas. O enunciado nos fornece a função que calcula o valor da mensalidade $P(n)$ em função do número de disciplinas $n$:

$P(n) = 980 - \frac{1680}{n}$

Sabemos que o pai de Júlio, Alex, pode pagar no máximo R$ 720,00 por mês. Isso significa que o valor da mensalidade $P(n)$ deve ser menor ou igual a $720$. Podemos escrever isso matematicamente como uma inequação:

$P(n) \le 720$

Substituindo a expressão de $P(n)$ na inequação, temos:

$980 - \frac{1680}{n} \le 720$

Agora, nosso objetivo é isolar a variável $n$. Primeiro, vamos subtrair $980$ de ambos os lados da inequação:

$-\frac{1680}{n} \le 720 - 980$

$-\frac{1680}{n} \le -260$

Como temos valores negativos em ambos os lados, podemos multiplicar a inequação inteira por $-1$. Lembre-se de que, ao multiplicar ou dividir uma inequação por um número negativo, o sinal da desigualdade se inverte:

$\frac{1680}{n} \ge 260$

Como $n$ representa uma quantidade de disciplinas, sabemos que é um número positivo ($n > 0$). Portanto, podemos multiplicar ambos os lados por $n$ sem alterar o sinal da desigualdade:

$1680 \ge 260n$

Agora, dividimos ambos os lados por $260$ para isolar $n$:

$n \le \frac{1680}{260}$

Simplificando a fração (cortando os zeros e dividindo por $2$):

$n \le \frac{168}{26}$

$n \le \frac{84}{13}$

Realizando a divisão de $84$ por $13$, obtemos aproximadamente:

$n \le 6,46$

Como o número de disciplinas $n$ deve ser um número inteiro (não é possível cursar $0,46$ de uma disciplina), o maior valor inteiro que satisfaz a condição $n \le 6,46$ é $n = 6$.

Para termos certeza, podemos testar os valores:

• Se ele escolher $6$ disciplinas: $P(6) = 980 - \frac{1680}{6} = 980 - 280 = 700$ reais (dentro do orçamento).
• Se ele escolher $7$ disciplinas: $P(7) = 980 - \frac{1680}{7} = 980 - 240 = 740$ reais (estoura o orçamento).

Portanto, o número máximo de disciplinas que Júlio poderá escolher é $6$.