Questão 180 do ENEM 2015 — Matemática

Interpretação do Problema

O enunciado (que aparece truncado) traz a função $P(x)$ como o preço de um produto agrícola ao longo dos meses do ano, dentro do contexto da lei da oferta e da procura. Assumimos, portanto, que $P(x)$ representa esse preço.

A questão pede o mês de produção máxima (a safra). Na lei da oferta e da procura, quando um produto está no auge da safra há grande disponibilidade dele no mercado, o que faz o preço atingir o valor mínimo.

Assim, nosso objetivo matemático é encontrar o valor de $x$ (o mês, de $1$ a $12$) que torna a função do preço $P(x)$ a menor possível.

Analisando a Função Trigonométrica

A função que descreve o preço é:

$P(x) = 8 + 5 \cos \left( \frac{\pi x - \pi}{6} \right)$

Nessa expressão, $8$ e $5$ são constantes. A única parte que varia ao longo dos meses é o cosseno. Da trigonometria, sabemos que a função cosseno oscila sempre no intervalo fechado entre $-1$ e $1$.

Para que o preço $P(x)$ seja o menor possível, a parte do cosseno deve assumir seu valor mínimo, que é $-1$. (Se o cosseno fosse $1$, teríamos o preço máximo da entressafra: $8 + 5 \cdot 1 = 13$.)

Como queremos o preço mínimo, impomos a condição:

$\cos \left( \frac{\pi x - \pi}{6} \right) = -1$

Resolvendo a Equação

O cosseno de um ângulo vale $-1$ quando esse ângulo é igual a $\pi$ radianos (ou $180^\circ$), além de suas voltas completas ($\pi + 2k\pi$). Como procuramos um mês $x$ dentro de um único ciclo anual (de $1$ a $12$), igualamos o argumento diretamente a $\pi$:

$\frac{\pi x - \pi}{6} = \pi$

Agora isolamos $x$. Multiplicando ambos os lados por $6$:

$\pi x - \pi = 6\pi$

Somando $\pi$ aos dois lados:

$\pi x = 7\pi$

Dividindo por $\pi$:

$x = 7$

Conclusão

Encontramos $x = 7$. Como $x = 1$ é janeiro, $x = 2$ é fevereiro, e assim por diante, o mês $7$ corresponde a julho.

É em julho que o preço atinge seu valor mínimo, $P(7) = 8 - 5 = 3$, o que garante ser esse o mês de produção máxima na safra.