Questão 172 do ENEM 2019 — Matemática

Para resolvermos esse problema, precisamos descobrir qual repelente oferece o menor custo diário se for utilizado por $8$ horas ao dia.

Uma forma muito eficiente de pensar nisso é perceber que o custo diário para $8$ horas de uso é diretamente proporcional ao custo por hora de cada repelente. Ou seja, o repelente que for mais barato por hora de uso será, obrigatoriamente, o mais barato para se usar por $8$ horas diárias.

Calculando o tempo total de vida útil

Primeiro, vamos descobrir quantas horas no total cada repelente dura. Para isso, multiplicamos a duração em dias pela quantidade de horas de utilização por dia informadas no rótulo:

• Tipo I: $30 \text{ dias} \times 12 \text{ horas/dia} = 360 \text{ horas}$
• Tipo II: $32 \text{ dias} \times 9 \text{ horas/dia} = 288 \text{ horas}$
• Tipo III: $40 \text{ dias} \times 10 \text{ horas/dia} = 400 \text{ horas}$
• Tipo IV: $44 \text{ dias} \times 8 \text{ horas/dia} = 352 \text{ horas}$
• Tipo V: $48 \text{ dias} \times 8 \text{ horas/dia} = 384 \text{ horas}$

Calculando o custo por hora

Agora, dividimos o preço de cada repelente pela sua duração total em horas para encontrar o custo de $1$ hora de uso:

• Tipo I: $\frac{12}{360} = \frac{1}{30} \text{ reais/hora}$
• Tipo II: $\frac{9}{288} = \frac{1}{32} \text{ reais/hora}$
• Tipo III: $\frac{10}{400} = \frac{1}{40} \text{ reais/hora}$
• Tipo IV: $\frac{11}{352} = \frac{1}{32} \text{ reais/hora}$
• Tipo V: $\frac{12}{384} = \frac{1}{32} \text{ reais/hora}$

Comparando os custos

Observe as frações que encontramos: $\frac{1}{30}$, $\frac{1}{32}$ e $\frac{1}{40}$. Como todas têm o mesmo numerador ($1$), a menor fração será aquela que possuir o maior denominador.

Portanto, $\frac{1}{40}$ é o menor valor, o que significa que o repelente do Tipo III tem o menor custo por hora.

Se quisermos confirmar calculando o custo diário exato para $8$ horas de uso, basta multiplicar esse custo por hora por $8$:

• Tipo III: $\frac{1}{40} \times 8 = \frac{8}{40} = \frac{1}{5} = 0,20 \text{ reais/dia}$.

Os tipos II, IV e V custariam $\frac{1}{32} \times 8 = \frac{1}{4} = 0,25 \text{ reais/dia}$, e o tipo I custaria $\frac{1}{30} \times 8 \approx 0,26 \text{ reais/dia}$.

Fica comprovado que a opção mais econômica é o repelente do Tipo III.